Упростите выражение и найдите его значение:
а) $\frac{1}{2}p + \frac{3}{14}p$ при $p = 3\frac{1}{2}$;
б) $1\frac{4}{37} + \frac{3}{16}n - \frac{4}{37} + 2\frac{3}{12}n$ при $n = 3\frac{1}{5}$.

Теория

Прежде чем мы начнем решать, давай вспомним несколько важных правил, которые нам понадобятся:

1. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, они должны иметь одинаковый знаменатель. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и привести каждую дробь к этому знаменателю, умножив числитель и знаменатель на соответствующий множитель.
2. Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем: Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений.
3. Умножение дробей: Чтобы умножить дроби, нужно умножить их числители и знаменатели.
4. Сокращение дробей: После выполнения сложения, вычитания или умножения дробей, нужно сократить полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).
5. Смешанные числа: Чтобы работать со смешанными числами (например, $3\frac{1}{2}$), их обычно преобразуют в неправильные дроби (например, $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$).
6. Распределительное свойство умножения: $a(b + c) = ab + ac$. Это свойство позволяет раскрывать скобки, умножая число на каждое слагаемое в скобках.
7. Приведение подобных слагаемых: Слагаемые, содержащие одинаковые переменные в одинаковой степени, называются подобными. Мы можем складывать или вычитать подобные слагаемые, складывая или вычитая их коэффициенты.

Теперь, когда мы вспомнили основные правила, давай перейдем к решению задачи.

Решение

а) $\frac{1}{2}p + \frac{3}{14}p$ при $p = 3\frac{1}{2}$

1. Упрощение выражения:

Сначала вынесем $p$ за скобки, используя распределительное свойство в обратном порядке:
$\frac{1}{2}p + \frac{3}{14}p = (\frac{1}{2} + \frac{3}{14})p$
Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{3}{14}$. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 2 и 14 равно 14.
Приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 14: $\frac{1}{2} = \frac{1 * 7}{2 * 7} = \frac{7}{14}$
Теперь сложим дроби:
$(\frac{7}{14} + \frac{3}{14})p = \frac{7 + 3}{14}p = \frac{10}{14}p$
Сократим дробь $\frac{10}{14}$, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД), который равен 2:
$\frac{10}{14}p = \frac{10 : 2}{14 : 2}p = \frac{5}{7}p$

2. Подстановка значения $p$:

Теперь подставим значение $p = 3\frac{1}{2}$ в упрощенное выражение $\frac{5}{7}p$:
$\frac{5}{7} * 3\frac{1}{2}$
Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{2}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 * 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$
Теперь умножим дроби:
$\frac{5}{7} * \frac{7}{2} = \frac{5 * 7}{7 * 2}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 7:
$\frac{5 * \cancel{7}}{\cancel{7} * 2} = \frac{5}{2}$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{5}{2}$ в смешанное число: $\frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$

Ответ: $2\frac{1}{2}$

б) $1\frac{4}{37} + \frac{3}{16}n - \frac{4}{37} + 2\frac{3}{12}n$ при $n = 3\frac{1}{5}$

1. Упрощение выражения:

Сгруппируем подобные слагаемые:
$(1\frac{4}{37} - \frac{4}{37}) + (\frac{3}{16}n + 2\frac{3}{12}n)$
Выполним вычитание в первой группе:
$1\frac{4}{37} - \frac{4}{37} = 1$
Упростим вторую группу, вынеся $n$ за скобки:
$(\frac{3}{16} + 2\frac{3}{12})n$
Сократим дробь $\frac{3}{12}$: $\frac{3}{12} = \frac{1}{4}$
Теперь у нас есть: $(\frac{3}{16} + 2\frac{1}{4})n$
Преобразуем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2 * 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$
Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{3}{16}$ и $\frac{9}{4}$. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 16 и 4 равно 16.
Приведем дробь $\frac{9}{4}$ к знаменателю 16: $\frac{9}{4} = \frac{9 * 4}{4 * 4} = \frac{36}{16}$
Теперь сложим дроби:
$(\frac{3}{16} + \frac{36}{16})n = \frac{3 + 36}{16}n = \frac{39}{16}n$
Итак, упрощенное выражение выглядит так: $1 + \frac{39}{16}n$

2. Подстановка значения $n$:

Теперь подставим значение $n = 3\frac{1}{5}$ в упрощенное выражение $1 + \frac{39}{16}n$:
$1 + \frac{39}{16} * 3\frac{1}{5}$
Преобразуем смешанное число $3\frac{1}{5}$ в неправильную дробь: $3\frac{1}{5} = \frac{3 * 5 + 1}{5} = \frac{16}{5}$
Теперь умножим дроби:
$1 + \frac{39}{16} * \frac{16}{5} = 1 + \frac{39 * 16}{16 * 5}$
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 16:
$1 + \frac{39 * \cancel{16}}{\cancel{16} * 5} = 1 + \frac{39}{5}$
Преобразуем неправильную дробь $\frac{39}{5}$ в смешанное число: $\frac{39}{5} = 7\frac{4}{5}$
Теперь сложим: $1 + 7\frac{4}{5} = 8\frac{4}{5}$

Ответ: $8\frac{4}{5}$