Упростите и найдите значение выражения:
а) $\frac{4}{7}x + \frac{5}{14}x$ при $x = 5\frac{1}{4}; \frac{9}{13}$;
б) $\frac{5}{16}y + y - \frac{3}{8}y$ при $y = 1\frac{1}{15}; 1\frac{7}{8}$;
в) $\frac{17}{42}c - \frac{2}{7}c + \frac{7}{18}c$ при $c = 3\frac{1}{2}; 2\frac{5}{8}$;
г) $\frac{3}{4}n + \frac{2}{3}n - \frac{4}{18}n$ при $n = 1\frac{13}{23}; \frac{6}{41}$.

Теория

1. Приведение дробей к общему знаменателю:

Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель (общее число под чертой дроби). Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю.

Находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. НОК − это наименьшее число, которое делится на оба знаменателя без остатка.
Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель. Дополнительный множитель − это число, которое нужно умножить на знаменатель дроби, чтобы получить общий знаменатель (НОК).

2. Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем:

Когда дроби имеют одинаковый знаменатель, можно сложить или вычесть их числители, а знаменатель остается тем же.

Складываем или вычитаем числители.
Записываем полученную сумму или разность в числитель новой дроби, а знаменатель оставляем прежним.

3. Умножение дробей:

Чтобы умножить две дроби, нужно умножить их числители и знаменатели.

Умножаем числители: результат записываем в числитель новой дроби.
Умножаем знаменатели: результат записываем в знаменатель новой дроби.

4. Упрощение дробей (сокращение):

После сложения, вычитания или умножения дробей, дробь можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель.
5. Смешанные числа:

Смешанное число состоит из целой части и дробной части. Например, $5\frac{1}{4}$ − это смешанное число, где 5 − целая часть, а $\frac{1}{4}$ − дробная часть.
Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно:

Умножить целую часть на знаменатель дробной части.
Прибавить полученное произведение к числителю дробной части.
Записать полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель оставить тем же.

Например: $5\frac{1}{4} = \frac{5 * 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

6. Распределительное свойство умножения:

Чтобы умножить сумму (или разность) на число, можно умножить каждое слагаемое (или уменьшаемое и вычитаемое) на это число, а затем сложить (или вычесть) результаты.

$a(b + c) = ab + ac$
$a(b - c) = ab - ac$

Теперь перейдем к решению твоих примеров:

а) $\frac{4}{7}x + \frac{5}{14}x$ при $x = 5\frac{1}{4}; \frac{9}{13}$;

1. Упростим выражение:

$\frac{4}{7}x + \frac{5}{14}x = (\frac{4}{7} + \frac{5}{14})x$

Приведем дроби к общему знаменателю (14):

$(\frac{4 * 2}{7 * 2} + \frac{5}{14})x = (\frac{8}{14} + \frac{5}{14})x = \frac{13}{14}x$

2. Найдем значение выражения при $x = 5\frac{1}{4}$:

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $5\frac{1}{4} = \frac{5 * 4 + 1}{4} = \frac{21}{4}$

Теперь подставим значение x в упрощенное выражение:

$\frac{13}{14} * \frac{21}{4} = \frac{13 * 21}{14 * 4} = \frac{13 * 3 * 7}{2 * 7 * 4} = \frac{13 * 3}{2 * 4} = \frac{39}{8}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{39}{8} = 4\frac{7}{8}$

3. Найдем значение выражения при $x = \frac{9}{13}$:

Подставим значение x в упрощенное выражение:

$\frac{13}{14} * \frac{9}{13} = \frac{13 * 9}{14 * 13} = \frac{9}{14}$

Ответ: $4\frac{7}{8}; \frac{9}{14}$.

б) $\frac{5}{16}y + y - \frac{3}{8}y$ при $y = 1\frac{1}{15}; 1\frac{7}{8}$;

1. Упростим выражение:

$\frac{5}{16}y + y - \frac{3}{8}y = (\frac{5}{16} + 1 - \frac{3}{8})y$

Приведем дроби к общему знаменателю (16):

$(\frac{5}{16} + \frac{16}{16} - \frac{3 * 2}{8 * 2})y = (\frac{5}{16} + \frac{16}{16} - \frac{6}{16})y = \frac{15}{16}y$

2. Найдем значение выражения при $y = 1\frac{1}{15}$:

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{1}{15} = \frac{1 * 15 + 1}{15} = \frac{16}{15}$

Теперь подставим значение y в упрощенное выражение:

$\frac{15}{16} * \frac{16}{15} = \frac{15 * 16}{16 * 15} = 1$

3. Найдем значение выражения при $y = 1\frac{7}{8}$:

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{7}{8} = \frac{1 * 8 + 7}{8} = \frac{15}{8}$

Теперь подставим значение y в упрощенное выражение:

$\frac{15}{16} * \frac{15}{8} = \frac{15 * 15}{16 * 8} = \frac{225}{128}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{225}{128} = 1\frac{97}{128}$

Ответ: $1; 1\frac{97}{128}$.

в) $\frac{17}{42}c - \frac{2}{7}c + \frac{7}{18}c$ при $c = 3\frac{1}{2}; 2\frac{5}{8}$;

1. Упростим выражение:

$\frac{17}{42}c - \frac{2}{7}c + \frac{7}{18}c = (\frac{17}{42} - \frac{2}{7} + \frac{7}{18})c$

Приведем дроби к общему знаменателю (126):

$(\frac{17*3}{42*3} - \frac{2*18}{7*18} + \frac{7*7}{18*7})c = (\frac{51}{126} - \frac{36}{126} + \frac{49}{126})c = \frac{64}{126}c$

Сократим дробь:

$\frac{64}{126}c = \frac{32}{63}c$

2. Найдем значение выражения при $c = 3\frac{1}{2}$:

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $3\frac{1}{2} = \frac{3 * 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Теперь подставим значение c в упрощенное выражение:

$\frac{32}{63} * \frac{7}{2} = \frac{32 * 7}{63 * 2} = \frac{16 * 2 * 7}{9 * 7 * 2} = \frac{16}{9}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{16}{9} = 1\frac{7}{9}$

3. Найдем значение выражения при $c = 2\frac{5}{8}$:

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{5}{8} = \frac{2 * 8 + 5}{8} = \frac{21}{8}$

Теперь подставим значение c в упрощенное выражение:

$\frac{32}{63} * \frac{21}{8} = \frac{32 * 21}{63 * 8} = \frac{4 * 8 * 3 * 7}{9 * 7 * 8} = \frac{4 * 3}{9} = \frac{4}{3}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

Ответ: $1\frac{7}{9}; 1\frac{1}{3}$.

г) $\frac{3}{4}n + \frac{2}{3}n - \frac{4}{18}n$ при $n = 1\frac{13}{23}; \frac{6}{41}$.

1. Упростим выражение:

$\frac{3}{4}n + \frac{2}{3}n - \frac{4}{18}n = (\frac{3}{4} + \frac{2}{3} - \frac{4}{18})n$

Приведем дроби к общему знаменателю (36):

$(\frac{3*9}{4*9} + \frac{2*12}{3*12} - \frac{4*2}{18*2})n = (\frac{27}{36} + \frac{24}{36} - \frac{8}{36})n = \frac{43}{36}n$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{43}{36}n = 1\frac{7}{36}n$

2. Найдем значение выражения при $n = 1\frac{13}{23}$:

Сначала переведем смешанное число в неправильную дробь: $1\frac{13}{23} = \frac{1 * 23 + 13}{23} = \frac{36}{23}$

Теперь подставим значение n в упрощенное выражение:

$1\frac{7}{36} * \frac{36}{23} = \frac{43}{36} * \frac{36}{23} = \frac{43 * 36}{36 * 23} = \frac{43}{23}$

Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $\frac{43}{23} = 1\frac{20}{23}$

3. Найдем значение выражения при $n = \frac{6}{41}$:

Подставим значение n в упрощенное выражение:

$\frac{43}{36} * \frac{6}{41} = \frac{43 * 6}{36 * 41} = \frac{43 * 6}{6 * 6 * 41} = \frac{43}{6 * 41} = \frac{43}{246}$

Ответ: $1\frac{20}{23}; \frac{43}{246}$.