Вычислите:
а) $(4\frac{3}{4} - 3\frac{1}{12}) * 4$;
б) $(5\frac{14}{19} - 5\frac{1}{38}) * 38$;
в) $7\frac{4}{19} * 6\frac{1}{4} + 4\frac{15}{19} * 6\frac{1}{4}$;
г) $3\frac{1}{14} * 17\frac{7}{29} - 3\frac{1}{14} * 3\frac{7}{29}$;
д) $(1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{16}) * 2\frac{10}{11}$;
е) $2\frac{2}{3} * (2\frac{1}{16} - 1\frac{7}{8})$.

Теория для решения задач с дробями

1. Что такое смешанная дробь?

Смешанная дробь – это число, которое состоит из целой части и дробной части (правильной дроби). Например, $2\frac{1}{3}$. Здесь 2 – целая часть, а $\frac{1}{3}$ – дробная часть.

2. Как перевести смешанную дробь в неправильную дробь?

Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, нужно:

Умножить целую часть на знаменатель дробной части.
Прибавить полученное число к числителю дробной части.
Записать полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

Формула: $a\frac{b}{c} = \frac{a*c + b}{c}$

Пример: $2\frac{1}{3} = \frac{2*3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

3. Как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями?

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно:

Найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для этих дробей.
Привести каждую дробь к новому знаменателю, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.
Сложить или вычесть числители, а знаменатель оставить прежним.

Пример: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1*3}{2*3} + \frac{1*2}{3*2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

4. Как умножать дроби?

Чтобы умножить дроби, нужно:

Умножить числители.
Умножить знаменатели.
По возможности сократить полученную дробь.

Формула: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$

Пример: $\frac{2}{3} * \frac{1}{4} = \frac{2*1}{3*4} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$

5. Как делить дроби?

Чтобы разделить дроби, нужно:

Заменить деление на умножение на обратную дробь (то есть поменять местами числитель и знаменатель второй дроби).
Умножить дроби.

Формула: $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$

Пример: $\frac{1}{2} : \frac{1}{3} = \frac{1}{2} * \frac{3}{1} = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

6. Распределительное свойство умножения

a * (b + c) = a * b + a * c
a * (b − c) = a * b − a * c

Теперь, когда мы повторили теорию, давай решим твои примеры шаг за шагом. Я буду подробно объяснять каждый шаг, чтобы тебе было понятно.

а) $(4\frac{3}{4} - 3\frac{1}{12}) * 4$

1. Приводим дроби в скобках к общему знаменателю:

$4\frac{3}{4} = 4\frac{3*3}{4*3} = 4\frac{9}{12}$

2. Вычитаем дроби в скобках:

$4\frac{9}{12} - 3\frac{1}{12} = (4 - 3) + (\frac{9}{12} - \frac{1}{12}) = 1\frac{8}{12}$

3. Упрощаем дробную часть:

$1\frac{8}{12} = 1\frac{2*4}{3*4} = 1\frac{2}{3}$

4. Переводим смешанную дробь в неправильную:

$1\frac{2}{3} = \frac{1*3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

5. Умножаем на 4:

$\frac{5}{3} * 4 = \frac{5*4}{3} = \frac{20}{3}$

6. Переводим неправильную дробь в смешанную:

$\frac{20}{3} = 6\frac{2}{3}$

Ответ: $6\frac{2}{3}$

б) $(5\frac{14}{19} - 5\frac{1}{38}) * 38$

1. Приводим дроби в скобках к общему знаменателю:

$5\frac{14}{19} = 5\frac{14*2}{19*2} = 5\frac{28}{38}$

2. Вычитаем дроби в скобках:

$5\frac{28}{38} - 5\frac{1}{38} = (5 - 5) + (\frac{28}{38} - \frac{1}{38}) = 0 + \frac{27}{38} = \frac{27}{38}$

3. Умножаем на 38:

$\frac{27}{38} * 38 = \frac{27 * 38}{38} = 27$

Ответ: 27

в) $7\frac{4}{19} * 6\frac{1}{4} + 4\frac{15}{19} * 6\frac{1}{4}$

1. Выносим общий множитель $6\frac{1}{4}$ за скобки, используя распределительное свойство умножения:

$6\frac{1}{4} * (7\frac{4}{19} + 4\frac{15}{19})$

2. Складываем дроби в скобках:

$7\frac{4}{19} + 4\frac{15}{19} = (7 + 4) + (\frac{4}{19} + \frac{15}{19}) = 11 + \frac{19}{19} = 11 + 1 = 12$

3. Переводим смешанную дробь в неправильную:

$6\frac{1}{4} = \frac{6*4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

4. Умножаем на 12:

$\frac{25}{4} * 12 = \frac{25 * 12}{4} = 25 * 3 = 75$

Ответ: 75

г) $3\frac{1}{14} * 17\frac{7}{29} - 3\frac{1}{14} * 3\frac{7}{29}$

1. Выносим общий множитель $3\frac{1}{14}$ за скобки, используя распределительное свойство умножения:

$3\frac{1}{14} * (17\frac{7}{29} - 3\frac{7}{29})$

2. Вычитаем дроби в скобках:

$17\frac{7}{29} - 3\frac{7}{29} = (17 - 3) + (\frac{7}{29} - \frac{7}{29}) = 14 + 0 = 14$

3. Переводим смешанную дробь в неправильную:

$3\frac{1}{14} = \frac{3*14 + 1}{14} = \frac{43}{14}$

4. Умножаем на 14:

$\frac{43}{14} * 14 = \frac{43 * 14}{14} = 43$

Ответ: 43

д) $(1\frac{1}{2} + 2\frac{1}{16}) * 2\frac{10}{11}$

1. Приводим дроби в скобках к общему знаменателю:

$1\frac{1}{2} = 1\frac{1*8}{2*8} = 1\frac{8}{16}$

2. Складываем дроби в скобках:

$1\frac{8}{16} + 2\frac{1}{16} = (1 + 2) + (\frac{8}{16} + \frac{1}{16}) = 3 + \frac{9}{16} = 3\frac{9}{16}$

3. Переводим смешанные дроби в неправильные:

$3\frac{9}{16} = \frac{3*16 + 9}{16} = \frac{57}{16}$

$2\frac{10}{11} = \frac{2*11 + 10}{11} = \frac{32}{11}$

4. Умножаем:

$\frac{57}{16} * \frac{32}{11} = \frac{57 * 32}{16 * 11} = \frac{57 * 2}{1 * 11} = \frac{114}{11}$

5. Переводим неправильную дробь в смешанную:

$\frac{114}{11} = 10\frac{4}{11}$

Ответ: $10\frac{4}{11}$

е) $2\frac{2}{3} * (2\frac{1}{16} - 1\frac{7}{8})$

1. Приводим дроби в скобках к общему знаменателю:

$1\frac{7}{8} = 1\frac{7*2}{8*2} = 1\frac{14}{16}$

2. Вычитаем дроби в скобках:

$2\frac{1}{16} - 1\frac{14}{16} = 1\frac{17}{16} - 1\frac{14}{16} = \frac{3}{16}$

3. Переводим смешанную дробь в неправильную:

$2\frac{2}{3} = \frac{2*3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

4. Умножаем:

$\frac{8}{3} * \frac{3}{16} = \frac{8 * 3}{3 * 16} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$