Выполните действия:
а) $(\frac{1}{3})^3$;
б) $(\frac{1}{2})^3 + \frac{1}{4}$;
в) $(1 - \frac{4}{5})^3$.

Теория

Прежде чем решать примеры, давай вспомним, что такое возведение дроби в степень.

1. Возведение дроби в степень: Чтобы возвести обыкновенную дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель.

$(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$

Например: $(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$

2. Сложение дробей с разными знаменателями: Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить числители, оставив знаменатель без изменений.

$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} + \frac{cb}{bd} = \frac{ad + cb}{bd}$

Например: $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{1*3}{2*3} + \frac{1*2}{3*2} = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} = \frac{5}{6}$

3. Вычитание дробей с разными знаменателями: Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю, а затем вычесть числители, оставив знаменатель без изменений.

$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad}{bd} - \frac{cb}{bd} = \frac{ad - cb}{bd}$

Например: $\frac{2}{3} - \frac{1}{4} = \frac{2*4}{3*4} - \frac{1*3}{4*3} = \frac{8}{12} - \frac{3}{12} = \frac{5}{12}$

Решение примеров

Теперь, когда мы повторили основные правила, давай решим примеры по порядку:

а) $(\frac{1}{3})^3$

Здесь нам нужно возвести дробь $\frac{1}{3}$ в третью степень. Это значит, что и числитель, и знаменатель нужно возвести в третью степень:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1 * 1 * 1}{3 * 3 * 3} = \frac{1}{27}$

Ответ: $\frac{1}{27}$

б) $(\frac{1}{2})^3 + \frac{1}{4}$

Сначала возведём дробь $\frac{1}{2}$ в третью степень:
$(\frac{1}{2})^3 = \frac{1^3}{2^3} = \frac{1 * 1 * 1}{2 * 2 * 2} = \frac{1}{8}$

Теперь нам нужно сложить $\frac{1}{8}$ и $\frac{1}{4}$. Чтобы это сделать, приведём дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 8 и 4 равен 8. Значит, вторую дробь нужно привести к знаменателю 8:
$\frac{1}{4} = \frac{1 * 2}{4 * 2} = \frac{2}{8}$

Теперь складываем:
$\frac{1}{8} + \frac{2}{8} = \frac{1 + 2}{8} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

в) $(1 - \frac{4}{5})^3$

Сначала выполним действие в скобках. Чтобы вычесть дробь $\frac{4}{5}$ из 1, представим 1 как дробь со знаменателем 5:
$1 = \frac{5}{5}$

Теперь вычитаем:
$\frac{5}{5} - \frac{4}{5} = \frac{5 - 4}{5} = \frac{1}{5}$

Теперь возведём полученную дробь $\frac{1}{5}$ в третью степень:
$(\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1 * 1 * 1}{5 * 5 * 5} = \frac{1}{125}$

Ответ: $\frac{1}{125}$