Упростите выражение:
а) $\frac{3}{7}a + \frac{2}{7}a$;
б) $\frac{9}{14}n - \frac{3}{14}n$;
в) $\frac{7}{9}c - \frac{11}{18}c$;
г) $\frac{7}{8}x - \frac{5}{6}x$;
д) $\frac{4}{13}p + \frac{9}{13}p$;
е) $\frac{4}{11}a + a$;
ж) $z - \frac{1}{9}z$;
з) $1\frac{3}{4}t - \frac{7}{8}t$.

Теория для решения задачи

1. Что такое упрощение выражения?

Упростить выражение – это значит сделать его более коротким и понятным, выполнив все возможные математические действия. В данном случае нам нужно сложить или вычесть дроби с одинаковыми буквенными частями.

2. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений.

Пример:
$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$
$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

3. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Пример:
$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad + cb}{bd}$

4. Приведение смешанной дроби к неправильной дроби

Чтобы преобразовать смешанную дробь в неправильную, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, прибавить к числителю дробной части и записать результат в числителе новой дроби. Знаменатель остается прежним.

Пример:
$A\frac{b}{c} = \frac{A \cdot c + b}{c}$

5. Вынесение общего множителя за скобки

В наших примерах у каждого слагаемого есть одинаковая буквенная часть (переменная). Мы можем вынести эту буквенную часть за скобки, чтобы упростить выражение.

Пример:
$ax + bx = (a + b)x$

Теперь давай посмотрим на решение каждого примера:

а) $\frac{3}{7}a + \frac{2}{7}a = (\frac{3}{7} + \frac{2}{7})a = \frac{5}{7}a$

Здесь у нас дроби с одинаковыми знаменателями (7). Складываем числители: 3 + 2 = 5.
Получаем $\frac{5}{7}a$.

б) $\frac{9}{14}n - \frac{3}{14}n = (\frac{9}{14} - \frac{3}{14})n = \frac{6}{14}n = \frac{3}{7}n$

Здесь у нас дроби с одинаковыми знаменателями (14). Вычитаем числители: 9 − 3 = 6.
Получаем $\frac{6}{14}n$. Эту дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{6}{14} = \frac{3}{7}$.
Итоговый ответ: $\frac{3}{7}n$.

в) $\frac{7}{9}c - \frac{11}{18}c = (\frac{7}{9}^{(2} - \frac{11}{18})c = (\frac{14}{18} - \frac{11}{18})c = \frac{3}{18}c = \frac{1}{6}c$

Здесь у нас дроби с разными знаменателями (9 и 18). Наименьший общий знаменатель (НОЗ) – 18.
Приводим первую дробь к знаменателю 18, умножив числитель и знаменатель на 2: $\frac{7}{9} = \frac{14}{18}$.
Теперь вычитаем: $\frac{14}{18} - \frac{11}{18} = \frac{3}{18}$.
Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{3}{18} = \frac{1}{6}$.
Итоговый ответ: $\frac{1}{6}c$.

г) $\frac{7}{8}x - \frac{5}{6}x = (\frac{7}{8}^{(3} - \frac{5}{6}^{4})x = (\frac{21}{24} - \frac{20}{24})x = \frac{1}{24}x$

Здесь у нас дроби с разными знаменателями (8 и 6). Наименьший общий знаменатель (НОЗ) – 24.
Приводим обе дроби к знаменателю 24: $\frac{7}{8} = \frac{21}{24}$ и $\frac{5}{6} = \frac{20}{24}$.
Теперь вычитаем: $\frac{21}{24} - \frac{20}{24} = \frac{1}{24}$.
Итоговый ответ: $\frac{1}{24}x$.

д) $\frac{4}{13}p + \frac{9}{13}p = (\frac{4}{13} + \frac{9}{13})p = \frac{13}{13}p = p$

Здесь у нас дроби с одинаковыми знаменателями (13). Складываем числители: 4 + 9 = 13.
Получаем $\frac{13}{13}p$. Так как $\frac{13}{13} = 1$, то ответ просто $p$.

е) $\frac{4}{11}a + a = (\frac{4}{11} + 1)a = 1\frac{4}{11}a$

Здесь у нас дробь и целое число. Представляем $a$ как $\frac{11}{11}a$.
Складываем: $\frac{4}{11}a + \frac{11}{11}a = \frac{15}{11}a$.
Выделяем целую часть: $\frac{15}{11}a = 1\frac{4}{11}a$.

ж) $z - \frac{1}{9}z = (1 - \frac{1}{9})z = (\frac{9}{9} - \frac{1}{9})z = \frac{8}{9}z$

Представляем $z$ как $\frac{9}{9}z$.
Вычитаем: $\frac{9}{9}z - \frac{1}{9}z = \frac{8}{9}z$.

з) $1\frac{3}{4}t - \frac{7}{8}t = (1\frac{3}{4}^{(2} - \frac{7}{8})t = (1\frac{6}{8} - \frac{7}{8})t = (\frac{14}{8} - \frac{7}{8})t = \frac{7}{8}t$

Сначала преобразуем смешанную дробь $1\frac{3}{4}$ в неправильную: $1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$.
Теперь приводим дроби к общему знаменателю 8: $\frac{7}{4} = \frac{14}{8}$.
Вычитаем: $\frac{14}{8}t - \frac{7}{8}t = \frac{7}{8}t$.