Выполните действия:
а) $7\frac{4}{13} * 5\frac{5}{7} + 7\frac{4}{13} * 7\frac{2}{7}$;
б) $7\frac{3}{4} * 10\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8} * 7\frac{3}{4}$;
в) $4\frac{3}{5} * 4\frac{3}{5} + 4\frac{3}{5} * \frac{2}{5}$.

Теория

1. Смешанные числа: Смешанное число состоит из целой части и дробной части (например, $2\frac{1}{3}$). Чтобы выполнить арифметические действия, часто удобнее перевести смешанное число в неправильную дробь.
2. Неправильная дробь: Это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, $\frac{7}{3}$). Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить числитель дробной части. Полученное число будет числителем неправильной дроби, а знаменатель останется прежним.
Пример: $2\frac{1}{3} = \frac{2 * 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$
3. Сложение и вычитание дробей: Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним.
Пример: $\frac{2}{5} + \frac{1}{5} = \frac{2+1}{5} = \frac{3}{5}$
4. Умножение дробей: Чтобы умножить дробь на дробь, нужно умножить их числители и умножить их знаменатели.
Пример: $\frac{2}{3} * \frac{4}{5} = \frac{2 * 4}{3 * 5} = \frac{8}{15}$
5. Распределительное свойство умножения (вынесение общего множителя за скобки): $a * b + a * c = a * (b + c)$ и $a * b - a * c = a * (b - c)$. Это позволяет упростить вычисления.

Решение

а) $7\frac{4}{13} * 5\frac{5}{7} + 7\frac{4}{13} * 7\frac{2}{7}$

1. Вынесем общий множитель за скобки:
$7\frac{4}{13} * (5\frac{5}{7} + 7\frac{2}{7})$
2. Сложим числа в скобках:
$5\frac{5}{7} + 7\frac{2}{7} = (5 + 7) + (\frac{5}{7} + \frac{2}{7}) = 12 + \frac{7}{7} = 12 + 1 = 13$
3. Переведём смешанное число в неправильную дробь:
$7\frac{4}{13} = \frac{7 * 13 + 4}{13} = \frac{91 + 4}{13} = \frac{95}{13}$
4. Выполним умножение:
$\frac{95}{13} * 13 = \frac{95 * 13}{13} = \frac{95 * \cancel{13}}{\cancel{13}} = 95$

Ответ: 95

б) $7\frac{3}{4} * 10\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8} * 7\frac{3}{4}$

1. Вынесем общий множитель за скобки:
$7\frac{3}{4} * (10\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8})$
2. Выполним вычитание в скобках:
$10\frac{3}{8} - 3\frac{3}{8} = (10 - 3) + (\frac{3}{8} - \frac{3}{8}) = 7 + 0 = 7$
3. Переведём смешанное число в неправильную дробь:
$7\frac{3}{4} = \frac{7 * 4 + 3}{4} = \frac{28 + 3}{4} = \frac{31}{4}$
4. Выполним умножение:
$\frac{31}{4} * 7 = \frac{31 * 7}{4} = \frac{217}{4}$
5. Переведём неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{217}{4} = 54\frac{1}{4}$

Ответ: $54\frac{1}{4}$

в) $4\frac{3}{5} * 4\frac{3}{5} + 4\frac{3}{5} * \frac{2}{5}$

1. Вынесем общий множитель за скобки:
$4\frac{3}{5} * (4\frac{3}{5} + \frac{2}{5})$
2. Выполним сложение в скобках:
$4\frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 4 + \frac{3}{5} + \frac{2}{5} = 4 + \frac{5}{5} = 4 + 1 = 5$
3. Переведём смешанное число в неправильную дробь:
$4\frac{3}{5} = \frac{4 * 5 + 3}{5} = \frac{20 + 3}{5} = \frac{23}{5}$
4. Выполним умножение:
$\frac{23}{5} * 5 = \frac{23 * 5}{5} = \frac{23 * \cancel{5}}{\cancel{5}} = 23$

Ответ: 23