Найдите произведение:
а) $3\frac{1}{9} * 5$;
б) $8\frac{2}{9} * 4$;
в) $4 * 2\frac{1}{5}$;
г) $8 * 2\frac{1}{11}$;
д) $5\frac{1}{5} * 5$;
е) $3\frac{3}{7} * 7$;
ж) $6 * 10\frac{1}{6}$;
з) $11\frac{1}{3} * 3$;
и) $23\frac{5}{8} * 8$;
к) $11\frac{7}{15} * 15$.

Теория:

1. Что такое смешанное число?

Смешанное число – это число, которое состоит из целой части и дробной части. Например, $2\frac{1}{3}$ − это смешанное число, где 2 − целая часть, а $\frac{1}{3}$ − дробная часть.

2. Умножение смешанного числа на целое число.

Чтобы умножить смешанное число на целое число, можно воспользоваться распределительным свойством умножения. Представим смешанное число в виде суммы целой и дробной частей, а затем умножим каждую часть на данное целое число. То есть, $a\frac{b}{c} * d = (a + \frac{b}{c}) * d = a * d + \frac{b}{c} * d$.

После умножения целой и дробной частей, нужно сложить полученные результаты. Если дробная часть получилась неправильной дробью (числитель больше знаменателя), то из неё нужно выделить целую часть и прибавить к целой части результата.

Теперь решим примеры:

а) $3\frac{1}{9} * 5$
Разложим смешанное число на целую и дробную части: $(3 + \frac{1}{9}) * 5$.
Умножим каждую часть на 5: $3 * 5 + \frac{1}{9} * 5 = 15 + \frac{5}{9}$.
Сложим результаты: $15 + \frac{5}{9} = 15\frac{5}{9}$.

б) $8\frac{2}{9} * 4$
Разложим: $(8 + \frac{2}{9}) * 4$.
Умножим: $8 * 4 + \frac{2}{9} * 4 = 32 + \frac{8}{9}$.
Сложим: $32 + \frac{8}{9} = 32\frac{8}{9}$.

в) $4 * 2\frac{1}{5}$
Разложим: $4 * (2 + \frac{1}{5})$.
Умножим: $4 * 2 + 4 * \frac{1}{5} = 8 + \frac{4}{5}$.
Сложим: $8 + \frac{4}{5} = 8\frac{4}{5}$.

г) $8 * 2\frac{1}{11}$
Разложим: $8 * (2 + \frac{1}{11})$.
Умножим: $8 * 2 + 8 * \frac{1}{11} = 16 + \frac{8}{11}$.
Сложим: $16 + \frac{8}{11} = 16\frac{8}{11}$.

д) $5\frac{1}{5} * 5$
Разложим: $(5 + \frac{1}{5}) * 5$.
Умножим: $5 * 5 + \frac{1}{5} * 5 = 25 + \frac{5}{5}$.
Здесь $\frac{5}{5}$ это 1.
Сложим: $25 + 1 = 26$.

е) $3\frac{3}{7} * 7$
Разложим: $(3 + \frac{3}{7}) * 7$.
Умножим: $3 * 7 + \frac{3}{7} * 7 = 21 + \frac{3 * 7}{7} = 21 + \frac{3 * \bcancel{7}}{\bcancel{7}} = 21 + 3$.
Сложим: $21 + 3 = 24$.

ж) $6 * 10\frac{1}{6}$
Разложим: $6 * (10 + \frac{1}{6})$.
Умножим: $6 * 10 + 6 * \frac{1}{6} = 60 + \frac{6}{6}$.
Здесь $\frac{6}{6}$ это 1.
Сложим: $60 + 1 = 61$.

з) $11\frac{1}{3} * 3$
Разложим: $(11 + \frac{1}{3}) * 3$.
Умножим: $11 * 3 + \frac{1}{3} * 3 = 33 + \frac{3}{3}$.
Здесь $\frac{3}{3}$ это 1.
Сложим: $33 + 1 = 34$.

и) $23\frac{5}{8} * 8$
Разложим: $(23 + \frac{5}{8}) * 8$.
Умножим: $23 * 8 + \frac{5}{8} * 8 = 184 + \frac{5 * 8}{8} = 184 + \frac{5 * \bcancel{8}}{\bcancel{8}} = 184 + 5$.
Сложим: $184 + 5 = 189$.

к) $11\frac{7}{15} * 15$
Разложим: $(11 + \frac{7}{15}) * 15$.
Умножим: $11 * 15 + \frac{7}{15} * 15 = 165 + \frac{7 * 15}{15} = 165 + \frac{7 * \bcancel{15}}{\bcancel{15}} = 165 + 7$.
Сложим: $165 + 7 = 172$.

Ответы:

а) $15\frac{5}{9}$
б) $32\frac{8}{9}$
в) $8\frac{4}{5}$
г) $16\frac{8}{11}$
д) $26$
е) $24$
ж) $61$
з) $34$
и) $189$
к) $172$