Расскажите о двух способах умножения смешанного числа на натуральное число.

Для успешного решения задач на умножение смешанного числа на натуральное число, нам необходимо понимать несколько ключевых понятий и правил.

Что такое смешанное число?

Смешанное число – это число, которое состоит из целой части и дробной части. Например, $3\frac{1}{2}$ – это смешанное число, где 3 – целая часть, а $\frac{1}{2}$ – дробная часть.

Что такое натуральное число?

Натуральные числа – это числа, которые мы используем для счета: 1, 2, 3, 4, 5 и так далее.

Как перевести смешанное число в обыкновенную дробь?

Чтобы перевести смешанное число в обыкновенную дробь, нужно:

1. Умножить целую часть на знаменатель дробной части.
2. Прибавить полученное произведение к числителю дробной части.
3. Записать полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.

Например, переведем $3\frac{1}{2}$ в обыкновенную дробь:

1. $3 \cdot 2 = 6$
2. $6 + 1 = 7$
3. $\frac{7}{2}$

Таким образом, $3\frac{1}{2} = \frac{7}{2}$.

Как умножить обыкновенную дробь на натуральное число?

Чтобы умножить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно:

1. Умножить числитель дроби на это натуральное число.
2. Знаменатель оставить без изменений.

Например, умножим $\frac{2}{5}$ на 3:

$\frac{2}{5} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{5} = \frac{6}{5}$

Как выделить целую часть из неправильной дроби?

Если числитель дроби больше знаменателя (такая дробь называется "неправильной"), то из неё можно выделить целую часть. Для этого нужно:

1. Разделить числитель на знаменатель.
2. Полученное частное будет целой частью.
3. Остаток от деления будет числителем дробной части.
4. Знаменатель остается прежним.

Например, выделим целую часть из дроби $\frac{7}{2}$:

1. $7 \div 2 = 3$ (остаток 1)
2. Целая часть: 3
3. Числитель дробной части: 1
4. Знаменатель: 2

Таким образом, $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$.

Теперь, когда мы повторили основные понятия, давай рассмотрим примеры решения задач двумя способами, как это было предложено в учебнике.

Пример: Вычислить $2\frac{1}{3} \cdot 4$.

Способ 1: Преобразование в обыкновенную дробь

1. Представим смешанное число $2\frac{1}{3}$ в виде обыкновенной дроби:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

2. Умножим полученную дробь на натуральное число 4:
$\frac{7}{3} \cdot 4 = \frac{7 \cdot 4}{3} = \frac{28}{3}$

3. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{28}{3}$:
$28 : 3 = 9$ (остаток 1)

Значит, $\frac{28}{3} = 9\frac{1}{3}$

Ответ: $2\frac{1}{3} \cdot 4 = 9\frac{1}{3}$

Способ 2: Умножение целой и дробной частей отдельно

1. Умножим целую часть (2) на натуральное число (4):
$2 \cdot 4 = 8$

2. Умножим дробную часть ($\frac{1}{3}$) на натуральное число (4):
$\frac{1}{3} \cdot 4 = \frac{1 \cdot 4}{3} = \frac{4}{3}$

3. Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{4}{3}$:
$4 : 3 = 1$ (остаток 1)

Значит, $\frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}$

4. Сложим полученные результаты:
$8 + 1\frac{1}{3} = 9\frac{1}{3}$

Ответ: $2\frac{1}{3} \cdot 4 = 9\frac{1}{3}$