Какое число прибавили к $\frac{1}{3}$ и получили:
а) 1;
б) $\frac{5}{6}$;
в) $\frac{1}{2}$;
г) $1\frac{1}{12}$;
д) $2\frac{5}{24}$?

Теория

Чтобы найти число, которое нужно прибавить к известному числу, чтобы получить заданную сумму, нужно из суммы вычесть известное число. Это следует из определения сложения и вычитания. В общем виде это можно записать так:

Если a + x = b, то x = b − a,

где:

a − известное число,
x − искомое число,
b − заданная сумма.

При работе с дробями, особенно при сложении и вычитании, важно помнить несколько ключевых моментов:

1. Приведение к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, они должны иметь одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого находят наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и приводят каждую дробь к этому знаменателю, умножая числитель и знаменатель на соответствующий множитель.
2. Сложение и вычитание числителей: После приведения к общему знаменателю можно складывать или вычитать числители, оставляя знаменатель без изменений.
3. Упрощение дробей: После сложения или вычитания полезно упростить полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).
4. Работа со смешанными числами: Смешанное число состоит из целой и дробной части. При вычитании из целого числа дроби, нужно "занять" единицу и представить ее в виде дроби с нужным знаменателем. Например, $1 = \frac{3}{3} = \frac{6}{6} = \frac{12}{12} = \frac{24}{24}$ и т.д.
5. Преобразование в неправильную дробь: Иногда удобнее представить смешанное число в виде неправильной дроби, чтобы выполнить сложение или вычитание. Например, $1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$.

Теперь давай решим задачу по шагам, как это делал бы ты в своей тетради.

а) Какое число прибавили к $\frac{1}{3}$ и получили 1?

Пусть x − искомое число, тогда:
$\frac{1}{3} + x = 1$
Чтобы найти x, нужно из 1 вычесть $\frac{1}{3}$:
$x = 1 - \frac{1}{3}$
Представим 1 как дробь со знаменателем 3: $1 = \frac{3}{3}$
$x = \frac{3}{3} - \frac{1}{3}$
$x = \frac{3-1}{3}$
$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

б) Какое число прибавили к $\frac{1}{3}$ и получили $\frac{5}{6}$?

Пусть x − искомое число, тогда:
$\frac{1}{3} + x = \frac{5}{6}$
Чтобы найти x, нужно из $\frac{5}{6}$ вычесть $\frac{1}{3}$:
$x = \frac{5}{6} - \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 это 6.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$
$x = \frac{5}{6} - \frac{2}{6}$
$x = \frac{5-2}{6}$
$x = \frac{3}{6}$
Сократим дробь: $\frac{3}{6} = \frac{3:3}{6:3} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) Какое число прибавили к $\frac{1}{3}$ и получили $\frac{1}{2}$?

Пусть x − искомое число, тогда:
$\frac{1}{3} + x = \frac{1}{2}$
Чтобы найти x, нужно из $\frac{1}{2}$ вычесть $\frac{1}{3}$:
$x = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 это 6.
$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$
$x = \frac{3}{6} - \frac{2}{6}$
$x = \frac{3-2}{6}$
$x = \frac{1}{6}$

Ответ: $\frac{1}{6}$

г) Какое число прибавили к $\frac{1}{3}$ и получили $1\frac{1}{12}$?

Пусть x − искомое число, тогда:
$\frac{1}{3} + x = 1\frac{1}{12}$
Чтобы найти x, нужно из $1\frac{1}{12}$ вычесть $\frac{1}{3}$:
$x = 1\frac{1}{12} - \frac{1}{3}$
Представим смешанное число $1\frac{1}{12}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 12 это 12.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$
$x = \frac{13}{12} - \frac{4}{12}$
$x = \frac{13-4}{12}$
$x = \frac{9}{12}$
Сократим дробь: $\frac{9}{12} = \frac{9:3}{12:3} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

д) Какое число прибавили к $\frac{1}{3}$ и получили $2\frac{5}{24}$?

Пусть x − искомое число, тогда:
$\frac{1}{3} + x = 2\frac{5}{24}$
Чтобы найти x, нужно из $2\frac{5}{24}$ вычесть $\frac{1}{3}$:
$x = 2\frac{5}{24} - \frac{1}{3}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 24 это 24.
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 8}{3 \cdot 8} = \frac{8}{24}$
$x = 2\frac{5}{24} - \frac{8}{24}$
Так как $\frac{5}{24} < \frac{8}{24}$, занимаем единицу у целой части:
$2\frac{5}{24} = 1 + 1\frac{5}{24} = 1 + \frac{24}{24} + \frac{5}{24} = 1\frac{29}{24}$
$x = 1\frac{29}{24} - \frac{8}{24}$
$x = 1\frac{29-8}{24}$
$x = 1\frac{21}{24}$
Сократим дробь: $\frac{21}{24} = \frac{21:3}{24:3} = \frac{7}{8}$
$x = 1\frac{7}{8}$

Ответ: $1\frac{7}{8}$