Вычислите:
а) $(1\frac{1}{5})^2$;
б) $(\frac{3}{4} - \frac{2}{3})^2$;
в) $(\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{9})^2$.

Для решения этих примеров, нам понадобятся знания о том, как возводить дроби в степень, как складывать и вычитать дроби с разными знаменателями, а также как преобразовывать смешанные числа в неправильные дроби. Давай вспомним эти правила!

Теория:

1. Смешанное число и неправильная дробь: Смешанное число состоит из целой части и дробной части (например, $1\frac{1}{5}$). Чтобы преобразовать его в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части, прибавить числитель дробной части, и записать результат в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним.
Например: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$.

2. Возведение дроби в степень: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель дроби.
Например: $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

3. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей, а затем умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, чтобы получить общий знаменатель.
Например: $\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad - cb}{bd}$.

Решение:

a) $(1\frac{1}{5})^2$
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь:
$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$
Теперь возведем дробь в квадрат:
$(\frac{6}{5})^2 = \frac{6^2}{5^2} = \frac{36}{25}$
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$\frac{36}{25} = 1\frac{11}{25}$

б) $(\frac{3}{4} - \frac{2}{3})^2$
Сначала выполним вычитание в скобках. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{2}{3}$. Наименьшее общее кратное чисел 4 и 3 равно 12. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{9}{12} - \frac{8}{12} = \frac{9 - 8}{12} = \frac{1}{12}$
Возведем результат в квадрат:
$(\frac{1}{12})^2 = \frac{1^2}{12^2} = \frac{1}{144}$

в) $(\frac{1}{3})^3 - (\frac{1}{9})^2$
Сначала возведем каждую дробь в степень:
$(\frac{1}{3})^3 = \frac{1^3}{3^3} = \frac{1}{27}$
$(\frac{1}{9})^2 = \frac{1^2}{9^2} = \frac{1}{81}$
Теперь выполним вычитание. Найдем общий знаменатель для дробей $\frac{1}{27}$ и $\frac{1}{81}$. Наименьшее общее кратное чисел 27 и 81 равно 81. Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{27} = \frac{1 \cdot 3}{27 \cdot 3} = \frac{3}{81}$
Теперь выполним вычитание:
$\frac{3}{81} - \frac{1}{81} = \frac{3 - 1}{81} = \frac{2}{81}$

Ответ:

а) $1\frac{11}{25}$
б) $\frac{1}{144}$
в) $\frac{2}{81}$