Найдите значение выражения:
а) $2x + \frac{1}{3}y$ при $x = 2\frac{1}{4}$, y = 9;
б) $2\frac{3}{4}x - 1\frac{2}{7}y$ при $x = 1\frac{5}{11}, y = 1\frac{2}{3}$.

Теория

Чтобы решить эту задачу, нам нужно вспомнить несколько важных вещей:

1. Что такое выражение с переменными: Это математическая запись, в которой есть числа, знаки действий (+, −, *, /) и буквы (переменные). Значение выражения зависит от того, какие числа мы подставим вместо букв.

2. Как подставлять значения в выражение: Вместо каждой буквы в выражении мы аккуратно пишем то число, которое нам дано в условии.

3. Как работать с обыкновенными дробями:

• Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должны быть одинаковые знаменатели (нижние числа). Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю.
• Чтобы умножить дроби, нужно умножить числители (верхние числа) и знаменатели отдельно: $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$
• Если получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя), её можно преобразовать в смешанное число (целая часть и дробь).

4. Как переводить смешанные числа в неправильные дроби и обратно:

• Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и записать это в числитель новой дроби. Знаменатель остается прежним: $a\frac{b}{c} = \frac{a*c + b}{c}$
• Чтобы перевести неправильную дробь в смешанное число, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет целой частью, остаток − числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

5. Порядок действий: Сначала выполняем умножение и деление, потом сложение и вычитание. Если есть скобки, сначала делаем действия в скобках.

Решение

а) $2x + \frac{1}{3}y$ при $x = 2\frac{1}{4}$, $y = 9$

1. Подставляем значения $x$ и $y$ в выражение:
$2 * 2\frac{1}{4} + \frac{1}{3} * 9$

2. Превращаем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{4} = \frac{2*4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

3. Выполняем умножение:
$2 * \frac{9}{4} = \frac{2}{1} * \frac{9}{4} = \frac{2*9}{1*4} = \frac{18}{4}$
$\frac{1}{3} * 9 = \frac{1}{3} * \frac{9}{1} = \frac{1*9}{3*1} = \frac{9}{3} = 3$

4. Упрощаем дробь $\frac{18}{4}$, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{18}{4} = \frac{9}{2}$

5. Превращаем неправильную дробь $\frac{9}{2}$ в смешанное число: $\frac{9}{2} = 4\frac{1}{2}$

1. Теперь складываем: $4\frac{1}{2} + 3 = 7\frac{1}{2}$

Ответ: $7\frac{1}{2}$

б) $2\frac{3}{4}x - 1\frac{2}{7}y$ при $x = 1\frac{5}{11}$, $y = 1\frac{2}{3}$

1. Подставляем значения $x$ и $y$ в выражение:
$2\frac{3}{4} * 1\frac{5}{11} - 1\frac{2}{7} * 1\frac{2}{3}$

2. Превращаем смешанные числа в неправильные дроби:
$2\frac{3}{4} = \frac{2*4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$
$1\frac{5}{11} = \frac{1*11 + 5}{11} = \frac{16}{11}$
$1\frac{2}{7} = \frac{1*7 + 2}{7} = \frac{9}{7}$
$1\frac{2}{3} = \frac{1*3 + 2}{3} = \frac{5}{3}$

3. Выполняем умножение:
$\frac{11}{4} * \frac{16}{11} = \frac{11*16}{4*11} = \frac{176}{44}$. Заметим, что можно сократить дробь на 11 и на 4: $\frac{11}{4} * \frac{16}{11} = \frac{1}{1} * \frac{4}{1} = 4$
$\frac{9}{7} * \frac{5}{3} = \frac{9*5}{7*3} = \frac{45}{21}$. Сокращаем на 3: $\frac{3*5}{7*1} = \frac{15}{7}$

4. Превращаем неправильную дробь $\frac{15}{7}$ в смешанное число: $\frac{15}{7} = 2\frac{1}{7}$

5. Теперь вычитаем: $4 - 2\frac{1}{7}$

6. Представляем 4 как $3\frac{7}{7}$, чтобы можно было вычесть дробь: $3\frac{7}{7} - 2\frac{1}{7} = 1\frac{6}{7}$

Ответ: $1\frac{6}{7}$