Вычислите:
а) $\frac{4}{9} * (3\frac{3}{14} * 2\frac{4}{5})^{2}$;
б) $((\frac{2}{3})^{3} + \frac{5}{9}) * \frac{9}{11}$;
в) $(2\frac{1}{2} - \frac{11}{14}) * (1\frac{4}{9} + 2\frac{5}{6} - 2\frac{3}{4})$.
$\frac{4}{9} \overset{3}{*} (3\frac{3}{14} \overset{1}{*} 2\frac{4}{5}\overset{2}{)^{2}} = 36$
1) $3\frac{3}{14} * 2\frac{4}{5} = \frac{\bcancel{45}^{9}}{\bcancel{14}_{1}} * \frac{\bcancel{14}^{1}}{\bcancel{5}_{1}} = 9$
2) $9^2 = 9 * 9 = 81$
3) $\frac{4}{\bcancel{9}_{1}} * \bcancel{81}^{9} = 36$
$((\frac{2}{3}\overset{1}{)^{3}} \overset{2}{+} \frac{5}{9}) \overset{3}{*} \frac{9}{11} = \frac{23}{33}$
1) $(\frac{2}{3})^{3} = \frac{2}{3} * \frac{2}{3} * \frac{2}{3} = \frac{8}{27}$
2) $\frac{8}{27} + \frac{5}{9}^{(3} = \frac{8}{27} + \frac{15}{27} = \frac{23}{27}$
3) $\frac{23}{\bcancel{27}_{3}} * \frac{\bcancel{9}^{1}}{11} = \frac{23}{33}$
$(2\frac{1}{2} \overset{1}{-} \frac{11}{14}) \overset{4}{*} (1\frac{4}{9} \overset{2}{+} 2\frac{5}{6} \overset{3}{-} 2\frac{3}{4}) = 2\frac{13}{21}$
1) $2\frac{1}{2}^{(7} - \frac{11}{14} = 2\frac{7}{14} - \frac{11}{14} = 1\frac{21}{14} - \frac{11}{14} = 1\frac{10}{14} = 1\frac{5}{7}$
2) $1\frac{4}{9}^{(2} + 2\frac{5}{6}^{(3} = 1\frac{8}{18} + 2\frac{15}{18} = 3\frac{23}{18} = 4\frac{5}{18}$
3) $4\frac{5}{18}^{(2} - 2\frac{3}{4}^{(9} = 4\frac{10}{36} - 2\frac{27}{36} = 3\frac{46}{36} - 2\frac{27}{36} = 1\frac{19}{36}$
4) $1\frac{5}{7} * 1\frac{19}{36} = \frac{\bcancel{12}^{1}}{7} * \frac{55}{\bcancel{36}_{3}} = \frac{55}{21} = 2\frac{13}{21}$
Теория
Чтобы успешно решать подобные примеры, нужно знать следующие правила и определения:
1. Обыкновенные дроби: Дробь, где есть числитель (сверху) и знаменатель (снизу). Например, $\frac{a}{b}$.
2. Смешанные числа: Число, состоящее из целой части и дробной части. Например, $2\frac{1}{2}$. Чтобы перевести смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель и прибавить числитель, а знаменатель оставить тем же. Например, $2\frac{1}{2} = \frac{2*2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$.
3. Арифметические действия с дробями:
Сложение и вычитание: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть общий знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю, а затем сложить или вычесть числители.
Умножение: Чтобы умножить дроби, нужно умножить числители и знаменатели. $\frac{a}{b} * \frac{c}{d} = \frac{a*c}{b*d}$.
Деление: Чтобы разделить дроби, нужно умножить первую дробь на перевернутую вторую дробь. $\frac{a}{b} : \frac{c}{d} = \frac{a}{b} * \frac{d}{c} = \frac{a*d}{b*c}$.
4. Возведение в степень: Чтобы возвести дробь в степень, нужно возвести в эту степень и числитель, и знаменатель. $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.
5. Порядок действий:
Сначала выполняются действия в скобках.
Затем выполняются возведение в степень.
Затем умножение и деление (слева направо).
В конце сложение и вычитание (слева направо).
Теперь давай разберём каждый пример с подробными пояснениями.
а) $\frac{4}{9} * (3\frac{3}{14} * 2\frac{4}{5})^{2}$
1. Сначала нужно выполнить умножение в скобках. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
$3\frac{3}{14} = \frac{3*14 + 3}{14} = \frac{45}{14}$
$2\frac{4}{5} = \frac{2*5 + 4}{5} = \frac{14}{5}$
2. Умножаем дроби:
$\frac{45}{14} * \frac{14}{5} = \frac{45 * 14}{14 * 5} = \frac{630}{70}$. Теперь можно сократить дробь на 70: $\frac{630}{70} = 9$
3. Возводим результат в квадрат:
$9^2 = 9 * 9 = 81$
4. Умножаем $\frac{4}{9}$ на 81:
$\frac{4}{9} * 81 = \frac{4 * 81}{9} = \frac{324}{9}$. Теперь можно сократить дробь на 9: $\frac{324}{9} = 36$
Ответ: 36
б) $((\frac{2}{3})^{3} + \frac{5}{9}) * \frac{9}{11}$
1. Сначала возводим $\frac{2}{3}$ в куб:
$(\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{2*2*2}{3*3*3} = \frac{8}{27}$
2. Теперь складываем $\frac{8}{27}$ и $\frac{5}{9}$. Приводим $\frac{5}{9}$ к знаменателю 27:
$\frac{5}{9} = \frac{5*3}{9*3} = \frac{15}{27}$
$\frac{8}{27} + \frac{15}{27} = \frac{8 + 15}{27} = \frac{23}{27}$
3. Умножаем результат на $\frac{9}{11}$:
$\frac{23}{27} * \frac{9}{11} = \frac{23 * 9}{27 * 11} = \frac{207}{297}$. Теперь можно сократить дробь на 9: $\frac{207}{297} = \frac{23}{33}$
Ответ: $\frac{23}{33}$
в) $(2\frac{1}{2} - \frac{11}{14}) * (1\frac{4}{9} + 2\frac{5}{6} - 2\frac{3}{4})$
1. Выполняем вычитание в первой скобке. Переведём $2\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:
$2\frac{1}{2} = \frac{2*2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$
Приводим дроби к общему знаменателю 14:
$\frac{5}{2} = \frac{5*7}{2*7} = \frac{35}{14}$
$\frac{35}{14} - \frac{11}{14} = \frac{35 - 11}{14} = \frac{24}{14}$. Сокращаем на 2: $\frac{24}{14} = \frac{12}{7}$. Переведём в смешанное число: $\frac{12}{7} = 1\frac{5}{7}$
2. Выполняем сложение и вычитание во второй скобке. Переведём смешанные числа в неправильные дроби:
$1\frac{4}{9} = \frac{1*9 + 4}{9} = \frac{13}{9}$
$2\frac{5}{6} = \frac{2*6 + 5}{6} = \frac{17}{6}$
$2\frac{3}{4} = \frac{2*4 + 3}{4} = \frac{11}{4}$
3. Приводим дроби к общему знаменателю 36:
$\frac{13}{9} = \frac{13*4}{9*4} = \frac{52}{36}$
$\frac{17}{6} = \frac{17*6}{6*6} = \frac{102}{36}$
$\frac{11}{4} = \frac{11*9}{4*9} = \frac{99}{36}$
4. Складываем и вычитаем дроби:
$\frac{52}{36} + \frac{102}{36} - \frac{99}{36} = \frac{52 + 102 - 99}{36} = \frac{55}{36}$. Переведём в смешанное число: $\frac{55}{36} = 1\frac{19}{36}$
5. Умножаем результаты из первой и второй скобок:
$1\frac{5}{7} * 1\frac{19}{36} = \frac{12}{7} * \frac{55}{36} = \frac{12 * 55}{7 * 36} = \frac{660}{252}$. Сокращаем дробь на 12: $\frac{660}{252} = \frac{55}{21}$. Переведём в смешанное число: $\frac{55}{21} = 2\frac{13}{21}$
Ответ: $2\frac{13}{21}$
Пожаулйста, оцените решение
vsebot.ru - Твоя нейросеть на базе СhatGPT, Gemini и др. Бесплатно навсегда!