Найдите значение выражения:
а) $\frac{3}{7}a$ при $a = \frac{1}{2}$; $a = 2\frac{1}{7}$; $a = 2\frac{1}{3}$; $a = \frac{28}{33}$.
б) $\frac{5}{12}b$ при $b = \frac{1}{5}$; $b = \frac{5}{12}$; $b = 1\frac{1}{5}$; $b = 2\frac{2}{5}$.

Для начала, давай вспомним основные моменты, которые нам понадобятся для решения этой задачи.

Теория

1. Умножение обыкновенных дробей: Чтобы умножить одну дробь на другую, нужно умножить их числители и знаменатели отдельно. То есть:

$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

2. Умножение смешанных чисел на дробь: Чтобы умножить смешанное число на дробь, нужно сначала превратить смешанное число в неправильную дробь, а затем умножить дроби как обычно.

Чтобы превратить смешанное число в неправильную дробь, нужно целую часть умножить на знаменатель, прибавить числитель и записать результат в числитель, а знаменатель оставить прежним.

$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$

3. Сокращение дробей: Чтобы упростить вычисления, можно сокращать дроби перед умножением. Это значит, что если числитель и знаменатель имеют общий множитель, на него можно разделить и числитель, и знаменатель.

Теперь, когда мы вспомнили основные правила, давай решим задачу по шагам.

Решение

а) $\frac{3}{7}a$

при $a = \frac{1}{2}$:
$\frac{3}{7} \cdot \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 1}{7 \cdot 2} = \frac{3}{14}$

при $a = 2\frac{1}{7}$:
Сначала превратим $2\frac{1}{7}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 1}{7} = \frac{14 + 1}{7} = \frac{15}{7}$

Теперь умножаем: $\frac{3}{7} \cdot \frac{15}{7} = \frac{3 \cdot 15}{7 \cdot 7} = \frac{45}{49}$

при $a = 2\frac{1}{3}$:

Сначала превратим $2\frac{1}{3}$ в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь умножаем: $\frac{3}{7} \cdot \frac{7}{3} = \frac{3 \cdot 7}{7 \cdot 3}$. Видим, что можно сократить 3 и 7: $\frac{\cancel{3}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{7}}{\cancel{3}} = 1$

при $a = \frac{28}{33}$:
Умножаем: $\frac{3}{7} \cdot \frac{28}{33} = \frac{3 \cdot 28}{7 \cdot 33}$. Видим, что можно сократить 7 и 28 (28 делится на 7, будет 4) и 3 и 33 (33 делится на 3, будет 11): $\frac{\cancel{3}}{\cancel{7}} \cdot \frac{\cancel{28}^4}{\cancel{33}^{11}} = \frac{1 \cdot 4}{1 \cdot 11} = \frac{4}{11}$

Ответ: $\frac{3}{14}, \frac{45}{49}, 1, \frac{4}{11}$

б) $\frac{5}{12}b$

при $b = \frac{1}{5}$:
$\frac{5}{12} \cdot \frac{1}{5} = \frac{5 \cdot 1}{12 \cdot 5}$. Видим, что можно сократить 5: $\frac{\cancel{5}}{12} \cdot \frac{1}{\cancel{5}} = \frac{1}{12}$

при $b = \frac{5}{12}$:
$\frac{5}{12} \cdot \frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 12} = \frac{25}{144}$

при $b = 1\frac{1}{5}$:
Сначала превратим $1\frac{1}{5}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Теперь умножаем: $\frac{5}{12} \cdot \frac{6}{5} = \frac{5 \cdot 6}{12 \cdot 5}$. Видим, что можно сократить 5 и 6 и 12 (12 делится на 6, будет 2): $\frac{\cancel{5}}{\cancel{12}^2} \cdot \frac{\cancel{6}}{\cancel{5}} = \frac{1}{2}$

при $b = 2\frac{2}{5}$:
Сначала превратим $2\frac{2}{5}$ в неправильную дробь: $2\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{10 + 2}{5} = \frac{12}{5}$

Теперь умножаем: $\frac{5}{12} \cdot \frac{12}{5} = \frac{5 \cdot 12}{12 \cdot 5}$. Видим, что можно сократить 5 и 12: $\frac{\cancel{5}}{\cancel{12}} \cdot \frac{\cancel{12}}{\cancel{5}} = 1$

Ответ: $\frac{1}{12}, \frac{25}{144}, \frac{1}{2}, 1$