Двое друзей вышли навстречу друг другу и встретились в условленном месте. Какое расстояние было изначально между ними, если первый шел $1\frac{1}{4}$ ч со скоростью $5\frac{3}{4}$ км/ч, а второй − $1\frac{2}{15}$ ч со скоростью $6\frac{1}{2}$ км/ч?

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о следующем:

1. Движение навстречу друг другу:
Когда два объекта движутся навстречу друг другу, расстояние между ними сокращается. Если известны скорости каждого объекта и время их движения до встречи, то можно найти общее расстояние между ними.

2. Формула расстояния:
Расстояние (S) равно скорости (V), умноженной на время (T):
S = V * T

3. Сложение расстояний:
Если два объекта движутся навстречу друг другу, то общее расстояние между ними равно сумме расстояний, которые прошел каждый объект до встречи.

4. Сложение и умножение смешанных чисел (правильных и неправильных дробей):
Нужно уметь переводить смешанные числа в неправильные дроби, выполнять умножение дробей (числитель на числитель, знаменатель на знаменатель) и сложение дробей (приводя их к общему знаменателю).

Теперь рассмотрим решение задачи по шагам:

1. Найдем расстояние, которое прошел первый друг:
Скорость первого друга: $5\frac{3}{4}$ км/ч
Время движения первого друга: $1\frac{1}{4}$ ч
Расстояние, пройденное первым другом: $S_1 = V_1 * T_1$

2. Найдем расстояние, которое прошел второй друг:
Скорость второго друга: $6\frac{1}{2}$ км/ч
Время движения второго друга: $1\frac{2}{15}$ ч
Расстояние, пройденное вторым другом: $S_2 = V_2 * T_2$

3. Найдем общее расстояние между друзьями:
Общее расстояние равно сумме расстояний, пройденных каждым другом: $S = S_1 + S_2$

Теперь выполним вычисления:

1. Расстояние, пройденное первым другом:
$5\frac{3}{4} = \frac{5*4 + 3}{4} = \frac{20 + 3}{4} = \frac{23}{4}$
$1\frac{1}{4} = \frac{1*4 + 1}{4} = \frac{4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$
$S_1 = \frac{23}{4} * \frac{5}{4} = \frac{23 * 5}{4 * 4} = \frac{115}{16}$
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{115}{16} = 7\frac{3}{16}$ (так как 115 : 16 = 7 (остаток 3))

2. Расстояние, пройденное вторым другом:
$6\frac{1}{2} = \frac{6*2 + 1}{2} = \frac{12 + 1}{2} = \frac{13}{2}$ * $1\frac{2}{15} = \frac{1*15 + 2}{15} = \frac{15 + 2}{15} = \frac{17}{15}$
$S_2 = \frac{13}{2} * \frac{17}{15} = \frac{13 * 17}{2 * 15} = \frac{221}{30}$
Переведем неправильную дробь в смешанное число: $\frac{221}{30} = 7\frac{11}{30}$ (так как 221 : 30 = 7 (остаток 11))

3. Общее расстояние между друзьями:
$S = 7\frac{3}{16} + 7\frac{11}{30}$
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 16 и 30 − это 240.
$7\frac{3}{16} = 7\frac{3*15}{16*15} = 7\frac{45}{240}$ * $7\frac{11}{30} = 7\frac{11*8}{30*8} = 7\frac{88}{240}$
$S = 7\frac{45}{240} + 7\frac{88}{240} = (7 + 7) + (\frac{45}{240} + \frac{88}{240}) = 14 + \frac{45 + 88}{240} = 14 + \frac{133}{240} = 14\frac{133}{240}$

Ответ: Изначальное расстояние между друзьями было $14\frac{133}{240}$ км.