Из двух городов одновременно навстречу друг другу вышли два поезда и встретились через $3\frac{3}{5}$ ч. Найдите расстояние между городами, если скорость одного поезда равна 75 км/ч, а скорость другого составляет $\frac{9}{10}$ от скорости первого поезда.

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о движении, скорости, времени и расстоянии, а также умение работать с дробями.

Теория:

1. Движение навстречу друг другу: Когда два объекта движутся навстречу друг другу, их скорости складываются. Эта суммарная скорость называется скоростью сближения.

2. Формула расстояния: Расстояние равно скорость, умноженная на время:
$S = V \cdot t$, где
$S$ − расстояние,
$V$ − скорость,
$t$ − время.

3. Действия с дробями:

• Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно умножить число на эту дробь.
• Чтобы сложить или вычесть дроби, нужно привести их к общему знаменателю.
• Чтобы умножить дроби, нужно умножить их числители и знаменатели.
• Чтобы перевести смешанную дробь в неправильную, нужно умножить целую часть на знаменатель дробной части, прибавить числитель дробной части и записать результат в числитель новой дроби, а знаменатель оставить прежним. Например: $3\frac{3}{5} = \frac{3*5 + 3}{5} = \frac{18}{5}$.

Решение:

1. Найдём скорость второго поезда:
Скорость второго поезда составляет $\frac{9}{10}$ от скорости первого поезда, которая равна 75 км/ч. Чтобы найти скорость второго поезда, умножим скорость первого поезда на $\frac{9}{10}$.
$75 \cdot \frac{9}{10} = \frac{75}{1} \cdot \frac{9}{10} = \frac{75 \cdot 9}{1 \cdot 10} = \frac{675}{10}$.
Сократим дробь на 5: $\frac{675:5}{10:5} = \frac{135}{2}$.
Выделим целую часть: $\frac{135}{2} = 67\frac{1}{2}$ (км/ч).

2. Найдём скорость сближения поездов:
Чтобы найти скорость сближения, сложим скорости первого и второго поездов.
$75 + 67\frac{1}{2} = 75 + \frac{135}{2} = \frac{75 \cdot 2}{1 \cdot 2} + \frac{135}{2} = \frac{150}{2} + \frac{135}{2} = \frac{150 + 135}{2} = \frac{285}{2}$ (км/ч).

3. Найдём расстояние между городами:
Расстояние равно скорости сближения, умноженной на время встречи. Время встречи равно $3\frac{3}{5}$ ч.
Переведём смешанную дробь $3\frac{3}{5}$ в неправильную: $3\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{15 + 3}{5} = \frac{18}{5}$.
Умножим скорость сближения на время встречи:
$\frac{285}{2} \cdot \frac{18}{5} = \frac{285 \cdot 18}{2 \cdot 5} = \frac{5130}{10}$.
Сократим дробь на 10:
$\frac{5130:10}{10:10} = \frac{513}{1} = 513$ (км).

Ответ: Расстояние между городами равно 513 км.