Выполните умножение:
а) $1\frac{1}{3} * 1\frac{2}{5}$;
б) $2\frac{4}{9} * 3\frac{3}{11}$;
в) $1\frac{1}{8} * 1\frac{7}{9}$;
г) $1\frac{4}{21} * 4\frac{1}{5}$;
д) $2\frac{2}{7} * 1\frac{3}{4}$;
е) $1\frac{1}{5} * 1\frac{17}{18}$.

Теория

1. Что такое смешанное число? Смешанное число состоит из целой части и дробной части, например, $2\frac{1}{3}$. Здесь 2 − целая часть, а $\frac{1}{3}$ − дробная часть.

2. Как перевести смешанное число в неправильную дробь? Чтобы выполнить умножение, сначала нужно перевести смешанные числа в неправильные дроби. Для этого:

• Умножаем целую часть на знаменатель дробной части.
• Прибавляем полученное произведение к числителю дробной части.
• Записываем полученную сумму в числитель новой дроби, а знаменатель остается тем же.

Например: $2\frac{1}{3} = \frac{2 * 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

3. Умножение дробей: Чтобы умножить две дроби, нужно:

• Умножить числители дробей.
• Умножить знаменатели дробей.
• Записать полученное произведение числителей в числитель новой дроби, а произведение знаменателей − в знаменатель новой дроби.

Например: $\frac{2}{5} * \frac{3}{7} = \frac{2 * 3}{5 * 7} = \frac{6}{35}$

4. Сокращение дробей (если возможно): Перед умножением (или после) можно сократить дроби, чтобы упростить вычисления. Сокращение − это деление числителя и знаменателя на один и тот же общий делитель.

Например: $\frac{4}{6}$ можно сократить на 2, получим $\frac{2}{3}$.

5. Перевод неправильной дроби в смешанное число (если нужно): Если в результате умножения получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя), можно перевести её обратно в смешанное число. Для этого:

• Разделим числитель на знаменатель.
• Полученное частное будет целой частью смешанного числа.
• Остаток от деления будет числителем дробной части, а знаменатель останется тем же.

Например: $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$ (так как 11 : 3 = 3 (остаток 2)).

Теперь решим примеры из задания:

а) $1\frac{1}{3} * 1\frac{2}{5}$

Переводим в неправильные дроби:
$1\frac{1}{3} = \frac{1 * 3 + 1}{3} = \frac{4}{3}$
$1\frac{2}{5} = \frac{1 * 5 + 2}{5} = \frac{7}{5}$

Умножаем дроби:
$\frac{4}{3} * \frac{7}{5} = \frac{4 * 7}{3 * 5} = \frac{28}{15}$

Переводим в смешанное число:
$\frac{28}{15} = 1\frac{13}{15}$ (так как 28 : 15 = 1 (остаток 13))

б) $2\frac{4}{9} * 3\frac{3}{11}$

Переводим в неправильные дроби:
$2\frac{4}{9} = \frac{2 * 9 + 4}{9} = \frac{22}{9}$
$3\frac{3}{11} = \frac{3 * 11 + 3}{11} = \frac{36}{11}$

Умножаем дроби:
$\frac{22}{9} * \frac{36}{11} = \frac{22 * 36}{9 * 11}$

Сокращаем дроби:
$\frac{22 * 36}{9 * 11} = \frac{2 * 11 * 4 * 9}{9 * 11} = \frac{2 * 4}{1} = 8$

в) $1\frac{1}{8} * 1\frac{7}{9}$

Переводим в неправильные дроби:
$1\frac{1}{8} = \frac{1 * 8 + 1}{8} = \frac{9}{8}$
$1\frac{7}{9} = \frac{1 * 9 + 7}{9} = \frac{16}{9}$

Умножаем дроби:
$\frac{9}{8} * \frac{16}{9} = \frac{9 * 16}{8 * 9}$

Сокращаем дроби:
$\frac{9 * 16}{8 * 9} = \frac{1 * 2}{1 * 1} = 2$

г) $1\frac{4}{21} * 4\frac{1}{5}$

Переводим в неправильные дроби:
$1\frac{4}{21} = \frac{1 * 21 + 4}{21} = \frac{25}{21}$
$4\frac{1}{5} = \frac{4 * 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$

Умножаем дроби:
$\frac{25}{21} * \frac{21}{5} = \frac{25 * 21}{21 * 5}$

Сокращаем дроби:
$\frac{25 * 21}{21 * 5} = \frac{5 * 1}{1 * 1} = 5$

д) $2\frac{2}{7} * 1\frac{3}{4}$

Переводим в неправильные дроби:
$2\frac{2}{7} = \frac{2 * 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$
$1\frac{3}{4} = \frac{1 * 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$

Умножаем дроби:
$\frac{16}{7} * \frac{7}{4} = \frac{16 * 7}{7 * 4}$

Сокращаем дроби:
$\frac{16 * 7}{7 * 4} = \frac{4 * 1}{1 * 1} = 4$

е) $1\frac{1}{5} * 1\frac{17}{18}$

Переводим в неправильные дроби:
$1\frac{1}{5} = \frac{1 * 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$
$1\frac{17}{18} = \frac{1 * 18 + 17}{18} = \frac{35}{18}$

Умножаем дроби:
$\frac{6}{5} * \frac{35}{18} = \frac{6 * 35}{5 * 18}$

Сокращаем дроби:
$\frac{6 * 35}{5 * 18} = \frac{1 * 7}{1 * 3} = \frac{7}{3}$

Переводим в смешанное число:
$\frac{7}{3} = 2\frac{1}{3}$ (так как 7 : 3 = 2 (остаток 1))

Ответы:

а) $1\frac{13}{15}$
б) $8$
в) $2$
г) $5$
д) $4$
е) $2\frac{1}{3}$