Сформулируйте правило умножения дроби на натуральное число.
Сформулируйте алгоритм умножения двух дробей.
Как выполнить умножение смешанных чисел?
Назовите свойства умножения дробей.
Чему равно произведение смешанного числа и нуля; смешанного числа и единицы?

Теоретическая подготовка к решению задач с дробями

Прежде чем мы перейдем к решению конкретных примеров, давай вспомним основные правила и определения, которые нам понадобятся. Представь, что это шпаргалка, которую ты можешь использовать на контрольной!

1. Что такое дробь?

Дробь – это способ записи числа, которое представляет собой часть целого. Дробь состоит из числителя и знаменателя, разделенных дробной чертой.

• Числитель (верхняя часть дроби) показывает, сколько частей мы берем.
• Знаменатель (нижняя часть дроби) показывает, на сколько равных частей разделено целое.

Например, в дроби $\frac{3}{5}$:

3 – это числитель
5 – это знаменатель

Эта дробь означает, что целое разделено на 5 равных частей, и мы взяли 3 из них.

2. Умножение дроби на натуральное число

Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.

Формула:
$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$

Пример:
$\frac{2}{7} \cdot 3 = \frac{2 \cdot 3}{7} = \frac{6}{7}$

3. Умножение двух дробей

Чтобы умножить две обыкновенные дроби, нужно:

1. Перемножить их числители. Результат будет числителем новой дроби.
2. Перемножить их знаменатели. Результат будет знаменателем новой дроби.
3. По возможности сократить полученную дробь (то есть разделить числитель и знаменатель на их общий делитель).

Формула:
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Пример:
$\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 6} = \frac{15}{24}$

Теперь сократим дробь $\frac{15}{24}$ на 3 (так как и 15, и 24 делятся на 3):
$\frac{15:3}{24:3} = \frac{5}{8}$

Итак, $\frac{3}{4} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{8}$

4. Смешанные числа

Смешанное число – это число, которое состоит из целой части и дробной части.

Например: $2\frac{1}{3}$ (читается "две целых и одна треть")

Чтобы умножить смешанные числа, нужно сначала превратить их в неправильные дроби.

Как превратить смешанное число в неправильную дробь? Очень просто! Нужно целую часть умножить на знаменатель дробной части и прибавить к числителю дробной части. Результат запишем в числитель, а знаменатель оставим прежним.

Формула:
$a\frac{b}{c} = \frac{a \cdot c + b}{c}$

Пример:
$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{6 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

Теперь, когда смешанные числа превращены в неправильные дроби, можно применить правило умножения дробей (пункт 3).

5. Свойства умножения дробей

Для умножения дробей справедливы те же свойства, что и для умножения обычных чисел:

Переместительное свойство: От перестановки множителей произведение не меняется.
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{c}{d} \cdot \frac{a}{b}$

Сочетательное свойство: Чтобы умножить произведение двух дробей на третью дробь, можно сначала умножить первую дробь на вторую, а потом результат умножить на третью, или же сначала умножить вторую дробь на третью, а потом первую дробь умножить на полученное произведение.
$(\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d}) \cdot \frac{e}{f} = \frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} \cdot \frac{e}{f})$

Распределительное свойство (умножение на сумму/разность):
$\frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} + \frac{e}{f}) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} + \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f}$

$\frac{a}{b} \cdot (\frac{c}{d} - \frac{e}{f}) = \frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} - \frac{a}{b} \cdot \frac{e}{f}$

6. Умножение на 0 и 1

Любое число (в том числе и смешанное) при умножении на 0 дает 0.
$a \cdot 0 = 0$

Любое число (в том числе и смешанное) при умножении на 1 остается самим собой. 1 называют нейтральным элементом при умножении.
$a \cdot 1 = a$

Ответы на вопросы

Теперь, когда мы все вспомнили, давай ответим на твои вопросы.

1. Правило умножения дроби на натуральное число:

Чтобы умножить дробь на натуральное число, нужно числитель дроби умножить на это число, а знаменатель оставить без изменений.
$\frac{a}{b} \cdot n = \frac{a \cdot n}{b}$

2. Алгоритм умножения двух дробей:

Чтобы умножить две обыкновенные дроби (например, $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$), нужно перемножить их числители (a и c), чтобы получить новый числитель, а затем перемножить их знаменатели (b и d), чтобы получить новый знаменатель. Полученную дробь $\frac{ac}{bd}$ можно при необходимости сократить, найдя наибольший общий делитель для числителя и знаменателя.
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

3. Как выполнить умножение смешанных чисел?

Чтобы найти произведение смешанных чисел, надо представить их в виде неправильных дробей, а затем применить алгоритм умножения дробей.

4. Свойства умножения дробей:

Для умножения дробей справедливы:
Переместительное свойство
Сочетательное свойство
Распределительное свойство

5. Чему равно произведение смешанного числа и нуля; смешанного числа и единицы?
Произведение смешанного числа и нуля равно нулю.
$a \cdot 0 = 0$

Произведение смешанного числа и единицы равно данному смешанному числу.
$a \cdot 1 = a$