Запишите равенства, обозначив неизвестное через x, и найдите x:
а) число прибавили к $\frac{1}{2}$ и получили $\frac{13}{14}$;
б) число уменьшили на $1\frac{8}{9}$ и получили $6\frac{2}{3}$;
в) к числу прибавили $10\frac{3}{14}$ и получили $12\frac{11}{42}$;
г) из числа вычли $4\frac{5}{36}$ и получили $3\frac{4}{39}$.

Давай разберем, как решать такие задачи. Это очень просто, если понять основные принципы.

Теория

1. Уравнения: Уравнение – это математическое выражение, в котором две части соединены знаком равенства (=). В уравнении обычно есть неизвестное число (обозначается буквой, чаще всего x), которое нужно найти.

2. Основные правила решения уравнений:

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое.
Например:
x + a = b
x = b − a

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое.
Например:
x − a = b
x = b + a

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность.
Например:
a − x = b
x = a − b

3. Действия с дробями:

Приведение к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Сложение и вычитание дробей: После приведения к общему знаменателю, складываем или вычитаем числители, а знаменатель остается тем же.

Сложение и вычитание смешанных чисел: Складываем или вычитаем целые части отдельно, дробные части отдельно. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, занимаем единицу из целой части уменьшаемого и представляем её в виде дроби с нужным знаменателем.

Решение задач

Теперь давай решим твои примеры, оформляя так, как это делается в школьной тетради.

а) число прибавили к $\frac{1}{2}$ и получили $\frac{13}{14}$;

Запишем уравнение:

$x + \frac{1}{2} = \frac{13}{14}$

Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы $\frac{13}{14}$ вычесть известное слагаемое $\frac{1}{2}$.

$x = \frac{13}{14} - \frac{1}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 14 и 2 будет 14. Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{2}$ будет 7.

$x = \frac{13}{14} - \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7}$

$x = \frac{13}{14} - \frac{7}{14}$

Теперь вычитаем дроби:

$x = \frac{13 - 7}{14}$

$x = \frac{6}{14}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = \frac{3}{7}$

Ответ: $x = \frac{3}{7}$

б) число уменьшили на $1\frac{8}{9}$ и получили $6\frac{2}{3}$;

Запишем уравнение:

$x - 1\frac{8}{9} = 6\frac{2}{3}$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, нужно к разности $6\frac{2}{3}$ прибавить вычитаемое $1\frac{8}{9}$.

$x = 6\frac{2}{3} + 1\frac{8}{9}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 3 и 9 будет 9. Дополнительный множитель для дроби $\frac{2}{3}$ будет 3.

$x = 6\frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + 1\frac{8}{9}$

$x = 6\frac{6}{9} + 1\frac{8}{9}$

Теперь складываем смешанные числа:

$x = (6 + 1) + (\frac{6}{9} + \frac{8}{9})$

$x = 7 + \frac{14}{9}$

Выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{14}{9}$:

$x = 7 + 1\frac{5}{9}$

$x = 8\frac{5}{9}$

Ответ: $x = 8\frac{5}{9}$

в) к числу прибавили $10\frac{3}{14}$ и получили $12\frac{11}{42}$;

Запишем уравнение:

$x + 10\frac{3}{14} = 12\frac{11}{42}$

Чтобы найти неизвестное слагаемое x, нужно из суммы $12\frac{11}{42}$ вычесть известное слагаемое $10\frac{3}{14}$.

$x = 12\frac{11}{42} - 10\frac{3}{14}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Общий знаменатель для 14 и 42 будет 42. Дополнительный множитель для дроби $\frac{3}{14}$ будет 3.

$x = 12\frac{11}{42} - 10\frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3}$

$x = 12\frac{11}{42} - 10\frac{9}{42}$

Теперь вычитаем смешанные числа:

$x = (12 - 10) + (\frac{11}{42} - \frac{9}{42})$

$x = 2 + \frac{2}{42}$

Сократим дробь $\frac{2}{42}$, разделив числитель и знаменатель на 2:

$x = 2 + \frac{1}{21}$

$x = 2\frac{1}{21}$

Ответ: $x = 2\frac{1}{21}$

г) из числа вычли $4\frac{5}{36}$ и получили $3\frac{4}{39}$.

Запишем уравнение:

$x - 4\frac{5}{36} = 3\frac{4}{39}$

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое x, нужно к разности $3\frac{4}{39}$ прибавить вычитаемое $4\frac{5}{36}$.

$x = 3\frac{4}{39} + 4\frac{5}{36}$

Приведем дробные части к общему знаменателю. Для этого нужно найти НОК(36,39). Разложим 36 и 39 на простые множители:

$36 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3^2$

$39 = 3 \cdot 13$

НОК(36,39) = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 13 = 4 \cdot 9 \cdot 13 = 468$

Теперь находим дополнительные множители:

Для дроби $\frac{4}{39}$: $468 : 39 = 12$

Для дроби $\frac{5}{36}$: $468 : 36 = 13$

$x = 3\frac{4 \cdot 12}{39 \cdot 12} + 4\frac{5 \cdot 13}{36 \cdot 13}$

$x = 3\frac{48}{468} + 4\frac{65}{468}$

Теперь складываем смешанные числа:

$x = (3 + 4) + (\frac{48}{468} + \frac{65}{468})$

$x = 7 + \frac{113}{468}$

$x = 7\frac{113}{468}$

Ответ: $x = 7\frac{113}{468}$