Найдите значение числового выражения наиболее удобным способом:
а) $2\frac{4}{15} + 1\frac{71}{80} + 3\frac{11}{15}$;
б) $3\frac{7}{16} - (1\frac{3}{8} + 1\frac{3}{16})$.

Для решения этих примеров нам понадобится знание нескольких важных математических концепций и правил работы с дробями. Давай разберем их!

Теория:

1. Смешанные числа: Смешанное число состоит из целой части и правильной дроби (где числитель меньше знаменателя). Например, $2\frac{4}{15}$ − это смешанное число, где 2 − целая часть, а $\frac{4}{15}$ − дробная часть.

2. Сложение и вычитание смешанных чисел: Чтобы сложить или вычесть смешанные числа, можно отдельно сложить или вычесть их целые части и дробные части. Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь (числитель больше или равен знаменателю), нужно выделить целую часть из этой дроби и добавить её к целой части смешанного числа.

3. Свойства сложения:

• Переместительное свойство: $a + b = b + a$ (от перестановки мест слагаемых сумма не меняется).
• Сочетательное свойство: $(a + b) + c = a + (b + c)$ (чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое число, а затем к полученной сумме прибавить второе число).

4. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Если знаменатели разные, нужно привести дроби к общему знаменателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, чтобы получить общий знаменатель.

5. Вычитание дробей из целого числа: Чтобы вычесть дробь из целого числа, нужно "занять" единицу из целого числа и представить её в виде дроби с нужным знаменателем. Например, $1 = \frac{8}{8} = \frac{16}{16}$ и т.д.

6. Сокращение дробей: Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель, дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на этот делитель.

Теперь, когда мы вспомнили теорию, давай решим примеры из твоего задания:

а) $2\frac{4}{15} + 1\frac{71}{80} + 3\frac{11}{15}$

1. Используем переместительное и сочетательное свойства сложения, чтобы сгруппировать дроби с одинаковыми знаменателями:
$(2\frac{4}{15} + 3\frac{11}{15}) + 1\frac{71}{80}$

2. Складываем смешанные числа в скобках:
$(2 + 3) + (\frac{4}{15} + \frac{11}{15}) + 1\frac{71}{80} = 5 + \frac{15}{15} + 1\frac{71}{80}$

3. Так как $\frac{15}{15} = 1$, то:
$5 + 1 + 1\frac{71}{80} = 6 + 1\frac{71}{80}$

4. Складываем целые части:
$7\frac{71}{80}$

Ответ: $7\frac{71}{80}$

б) $3\frac{7}{16} - (1\frac{3}{8} + 1\frac{3}{16})$

1. Сначала сложим числа в скобках. Приведем дробь $\frac{3}{8}$ к знаменателю 16. Для этого умножим числитель и знаменатель на 2:
$1\frac{3}{8} = 1\frac{3 \cdot 2}{8 \cdot 2} = 1\frac{6}{16}$
Теперь сложим: $1\frac{6}{16} + 1\frac{3}{16} = (1 + 1) + (\frac{6}{16} + \frac{3}{16}) = 2\frac{9}{16}$

2. Теперь вычтем полученную сумму из $3\frac{7}{16}$:
$3\frac{7}{16} - 2\frac{9}{16}$

3. Так как дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, "займем" единицу из целой части уменьшаемого:
$3\frac{7}{16} = 2 + 1\frac{7}{16} = 2 + \frac{16}{16} + \frac{7}{16} = 2\frac{23}{16}$

4. Теперь вычитаем:
$2\frac{23}{16} - 2\frac{9}{16} = (2 - 2) + (\frac{23}{16} - \frac{9}{16}) = 0 + \frac{14}{16} = \frac{14}{16}$

5. Сокращаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:
$\frac{14}{16} = \frac{14:2}{16:2} = \frac{7}{8}$

Ответ: $\frac{7}{8}$