Решите уравнение и сделайте проверку:
а) $x + 3\frac{4}{7} = 6\frac{2}{21}$;
б) $5\frac{7}{12} + x = 8\frac{5}{16}$.

Для решения уравнений с дробями, как в данном случае, нужно хорошо понимать, как складывать и вычитать смешанные числа. Давай вспомним основные моменты:

Теория:

1. Смешанное число: Это число, которое состоит из целой части и дробной части (например, $3\frac{4}{7}$).

2. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и привести каждую дробь к этому знаменателю. Для этого числитель и знаменатель каждой дроби умножаются на дополнительный множитель.

3. Сложение и вычитание смешанных чисел:

• Складываем (или вычитаем) целые части.
• Складываем (или вычитаем) дробные части (уже с общим знаменателем).
• Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя), выделяем целую часть из этой дроби и добавляем к целой части суммы.

4. Решение уравнений: Чтобы найти неизвестное число в уравнении, нужно выполнить обратное действие. Например, если в уравнении к неизвестному числу прибавляется дробь, нужно вычесть эту дробь из обеих частей уравнения.

5. Проверка: Чтобы убедиться, что уравнение решено правильно, нужно подставить найденное значение неизвестного в исходное уравнение и убедиться, что обе части уравнения равны.

Теперь решим уравнения по шагам.

а) $x + 3\frac{4}{7} = 6\frac{2}{21}$

1. Приводим дробь $\frac{4}{7}$ к знаменателю 21:
Чтобы привести дробь $\frac{4}{7}$ к знаменателю 21, нужно умножить и числитель, и знаменатель на 3:
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} = \frac{12}{21}$
Тогда уравнение примет вид:
$x + 3\frac{12}{21} = 6\frac{2}{21}$

2. Находим $x$:
Чтобы найти $x$, нужно вычесть $3\frac{12}{21}$ из обеих частей уравнения:
$x = 6\frac{2}{21} - 3\frac{12}{21}$

3. Вычитаем смешанные числа:
Так как дробь $\frac{2}{21}$ меньше, чем $\frac{12}{21}$, нужно "занять" единицу у целой части числа $6\frac{2}{21}$ и представить её в виде дроби $\frac{21}{21}$:
$6\frac{2}{21} = 5 + 1 + \frac{2}{21} = 5 + \frac{21}{21} + \frac{2}{21} = 5\frac{23}{21}$
Теперь можно вычитать:
$x = 5\frac{23}{21} - 3\frac{12}{21} = (5 - 3) + (\frac{23}{21} - \frac{12}{21}) = 2\frac{11}{21}$

Ответ: $x = 2\frac{11}{21}$

Проверка:

Подставляем найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$2\frac{11}{21} + 3\frac{4}{7} = 6\frac{2}{21}$

1. Приводим дробь $\frac{4}{7}$ к знаменателю 21:
$2\frac{11}{21} + 3\frac{12}{21} = 6\frac{2}{21}$

2. Складываем смешанные числа:
$2\frac{11}{21} + 3\frac{12}{21} = (2 + 3) + (\frac{11}{21} + \frac{12}{21}) = 5\frac{23}{21}$

3. Выделяем целую часть из неправильной дроби:
$5\frac{23}{21} = 5 + \frac{21}{21} + \frac{2}{21} = 5 + 1 + \frac{2}{21} = 6\frac{2}{21}$

Получаем:
$6\frac{2}{21} = 6\frac{2}{21}$

Проверка прошла успешно, значит, уравнение решено верно.

б) $5\frac{7}{12} + x = 8\frac{5}{16}$

1. Находим общий знаменатель для дробей $\frac{7}{12}$ и $\frac{5}{16}$:
Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 12 и 16 равно 48.
Приводим дроби к знаменателю 48:
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 4}{12 \cdot 4} = \frac{28}{48}$
$\frac{5}{16} = \frac{5 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{15}{48}$
Тогда уравнение примет вид:
$5\frac{28}{48} + x = 8\frac{15}{48}$

2. Находим $x$:
Чтобы найти $x$, нужно вычесть $5\frac{28}{48}$ из обеих частей уравнения:
$x = 8\frac{15}{48} - 5\frac{28}{48}$

3. Вычитаем смешанные числа:
Так как дробь $\frac{15}{48}$ меньше, чем $\frac{28}{48}$, нужно "занять" единицу у целой части числа $8\frac{15}{48}$ и представить её в виде дроби $\frac{48}{48}$:
$8\frac{15}{48} = 7 + 1 + \frac{15}{48} = 7 + \frac{48}{48} + \frac{15}{48} = 7\frac{63}{48}$
Теперь можно вычитать:
$x = 7\frac{63}{48} - 5\frac{28}{48} = (7 - 5) + (\frac{63}{48} - \frac{28}{48}) = 2\frac{35}{48}$

Ответ: $x = 2\frac{35}{48}$

Проверка:

Подставляем найденное значение $x$ в исходное уравнение:
$5\frac{7}{12} + 2\frac{35}{48} = 8\frac{5}{16}$

1. Приводим дробь $\frac{7}{12}$ к знаменателю 48:
$5\frac{28}{48} + 2\frac{35}{48} = 8\frac{5}{16}$

2. Складываем смешанные числа:
$5\frac{28}{48} + 2\frac{35}{48} = (5 + 2) + (\frac{28}{48} + \frac{35}{48}) = 7\frac{63}{48}$

3. Выделяем целую часть из неправильной дроби:
$7\frac{63}{48} = 7 + \frac{48}{48} + \frac{15}{48} = 7 + 1 + \frac{15}{48} = 8\frac{15}{48}$

4. Упрощаем дробь $\frac{15}{48}$:
Дробь $\frac{15}{48}$ можно сократить на 3:
$\frac{15}{48} = \frac{15 : 3}{48 : 3} = \frac{5}{16}$
Получаем:
$8\frac{5}{16} = 8\frac{5}{16}$