Запишите выражение и найдите его значение:
а) к разности чисел $6\frac{2}{3}$ и $2\frac{1}{6}$ прибавить $3\frac{5}{12}$;
б) из суммы чисел $1\frac{2}{15}$ и $5\frac{7}{30}$ вычесть $5\frac{1}{30}$.

Для решения данной задачи, нам понадобятся знания об обыкновенных дробях и смешанных числах, а также умение выполнять арифметические действия с ними.

Теория:

1. Обыкновенная дробь − это число вида $\frac{a}{b}$, где a − числитель, b − знаменатель.
2. Смешанное число − это число, состоящее из целой и дробной части, например, $2\frac{1}{3}$.
3. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, они должны иметь одинаковый знаменатель. Для этого нужно найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) и привести каждую дробь к этому знаменателю. Например, чтобы сложить $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$, нужно привести их к общему знаменателю 6: $\frac{1}{2} = \frac{3}{6}$, $\frac{1}{3} = \frac{2}{6}$.
4. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменения: $\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$, $\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$.
5. Сложение и вычитание смешанных чисел: Чтобы сложить или вычесть смешанные числа, нужно отдельно сложить или вычесть целые части и отдельно дробные части. Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя), нужно выделить целую часть из этой дроби и прибавить её к целой части суммы. Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно "занять" единицу у целой части уменьшаемого, представить её в виде дроби с нужным знаменателем и прибавить к дробной части уменьшаемого.
6. Сокращение дробей: Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель, то дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на этот делитель.

Решение:

а) К разности чисел $6\frac{2}{3}$ и $2\frac{1}{6}$ прибавить $3\frac{5}{12}$.

1. Запишем выражение: $(6\frac{2}{3} - 2\frac{1}{6}) + 3\frac{5}{12}$
2. Сначала найдем разность в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 6 − это 6. Поэтому $6\frac{2}{3} = 6\frac{2*2}{3*2} = 6\frac{4}{6}$.
3. Выполним вычитание: $6\frac{4}{6} - 2\frac{1}{6} = (6-2) + (\frac{4}{6} - \frac{1}{6}) = 4 + \frac{3}{6} = 4\frac{3}{6}$.
4. Сократим дробь $\frac{3}{6}$: $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$. Тогда $4\frac{3}{6} = 4\frac{1}{2}$.
5. Теперь прибавим $3\frac{5}{12}$ к полученной разности: $4\frac{1}{2} + 3\frac{5}{12}$.
6. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 12 − это 12. Поэтому $4\frac{1}{2} = 4\frac{1*6}{2*6} = 4\frac{6}{12}$.
7. Выполним сложение: $4\frac{6}{12} + 3\frac{5}{12} = (4+3) + (\frac{6}{12} + \frac{5}{12}) = 7 + \frac{11}{12} = 7\frac{11}{12}$.

Ответ: $7\frac{11}{12}$

б) Из суммы чисел $1\frac{2}{15}$ и $5\frac{7}{30}$ вычесть $5\frac{1}{30}$.

1. Запишем выражение: $(1\frac{2}{15} + 5\frac{7}{30}) - 5\frac{1}{30}$
2. Сначала найдем сумму в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15 и 30 − это 30. Поэтому $1\frac{2}{15} = 1\frac{2*2}{15*2} = 1\frac{4}{30}$.
3. Выполним сложение: $1\frac{4}{30} + 5\frac{7}{30} = (1+5) + (\frac{4}{30} + \frac{7}{30}) = 6 + \frac{11}{30} = 6\frac{11}{30}$.
4. Теперь вычтем $5\frac{1}{30}$ из полученной суммы: $6\frac{11}{30} - 5\frac{1}{30}$.
5. Выполним вычитание: $6\frac{11}{30} - 5\frac{1}{30} = (6-5) + (\frac{11}{30} - \frac{1}{30}) = 1 + \frac{10}{30} = 1\frac{10}{30}$.
6. Сократим дробь $\frac{10}{30}$: $\frac{10}{30} = \frac{1}{3}$. Тогда $1\frac{10}{30} = 1\frac{1}{3}$.

Ответ: $1\frac{1}{3}$