Решите уравнение:
а) $1 - y = \frac{7}{24} + \frac{1}{4}$;
б) $1 + m = \frac{3}{5} + \frac{6}{15}$;
в) $l + 3\frac{5}{6} = 7\frac{1}{6} - 2\frac{2}{3}$.

Теория

Прежде чем решать уравнения, давай вспомним основные понятия и правила, которые нам понадобятся:

1. Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число (обычно обозначается буквой, например, $x$, $y$, $m$, $l$), которое нужно найти.

2. Решить уравнение – значит найти все значения неизвестного, при которых уравнение становится верным равенством.

3. Основное свойство уравнений: Если к обеим частям уравнения прибавить (или из обеих частей вычесть) одно и то же число, то получится новое уравнение, имеющее те же корни, что и исходное. Это позволяет нам переносить числа из одной части уравнения в другую, меняя знак на противоположный.

4. Арифметические действия с дробями:

• Чтобы сложить (или вычесть) дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю.
• Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и умножить числитель и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель, чтобы получить общий знаменатель.
• Чтобы из смешанного числа вычесть дробь, нужно сначала преобразовать смешанное число в неправильную дробь или "занять" единицу из целой части и представить её в виде дроби с нужным знаменателем.

Решение уравнений

Теперь применим эти знания для решения каждого уравнения:

а) $1 - y = \frac{7}{24} + \frac{1}{4}$

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
Чтобы сложить дроби $\frac{7}{24}$ и $\frac{1}{4}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 24 и 4 − это 24. Поэтому дробь $\frac{1}{4}$ нужно привести к знаменателю 24. Для этого умножим и числитель, и знаменатель дроби $\frac{1}{4}$ на 6:
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 6} = \frac{6}{24}$

2. Сложим дроби:
Теперь сложим дроби $\frac{7}{24}$ и $\frac{6}{24}$:
$\frac{7}{24} + \frac{6}{24} = \frac{7 + 6}{24} = \frac{13}{24}$
Теперь наше уравнение выглядит так:
$1 - y = \frac{13}{24}$

3. Выразим $y$:
Чтобы найти $y$, нужно перенести его в правую часть уравнения, а $\frac{13}{24}$ − в левую часть. Получим:
$1 - \frac{13}{24} = y$

4. Вычислим $y$:
Представим 1 как дробь со знаменателем 24: $1 = \frac{24}{24}$. Тогда:
$y = \frac{24}{24} - \frac{13}{24} = \frac{24 - 13}{24} = \frac{11}{24}$

Ответ: $y = \frac{11}{24}$

б) $1 + m = \frac{3}{5} + \frac{6}{15}$

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
Чтобы сложить дроби $\frac{3}{5}$ и $\frac{6}{15}$, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 15 − это 15. Поэтому дробь $\frac{3}{5}$ нужно привести к знаменателю 15. Для этого умножим и числитель, и знаменатель дроби $\frac{3}{5}$ на 3:
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$

2. Сложим дроби:
Теперь сложим дроби $\frac{9}{15}$ и $\frac{6}{15}$:
$\frac{9}{15} + \frac{6}{15} = \frac{9 + 6}{15} = \frac{15}{15}$
Значит, $\frac{15}{15} = 1$
Теперь наше уравнение выглядит так:
$1 + m = 1$

3. Выразим $m$:
Чтобы найти $m$, нужно перенести 1 из левой части в правую часть уравнения. Получим:
$m = 1 - 1$

4. Вычислим $m$:
$m = 0$

Ответ: $m = 0$

в) $l + 3\frac{5}{6} = 7\frac{1}{6} - 2\frac{2}{3}$

1. Приведем дроби к общему знаменателю:
Чтобы вычесть дроби $7\frac{1}{6}$ и $2\frac{2}{3}$, нужно привести дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 − это 6. Поэтому дробь $\frac{2}{3}$ нужно привести к знаменателю 6. Для этого умножим и числитель, и знаменатель дроби $\frac{2}{3}$ на 2:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$
Теперь наше уравнение выглядит так:
$l + 3\frac{5}{6} = 7\frac{1}{6} - 2\frac{4}{6}$

2. Выполним вычитание:
Вычтем $2\frac{4}{6}$ из $7\frac{1}{6}$. Так как из $\frac{1}{6}$ нельзя вычесть $\frac{4}{6}$, "займем" единицу из целой части 7. Тогда $7\frac{1}{6}$ станет $6\frac{7}{6}$.
$6\frac{7}{6} - 2\frac{4}{6} = (6 - 2) + (\frac{7}{6} - \frac{4}{6}) = 4 + \frac{3}{6} = 4\frac{3}{6}$
Теперь наше уравнение выглядит так:
$l + 3\frac{5}{6} = 4\frac{3}{6}$

3. Выразим $l$:
Чтобы найти $l$, нужно перенести $3\frac{5}{6}$ из левой части в правую часть уравнения. Получим:
$l = 4\frac{3}{6} - 3\frac{5}{6}$

4. Вычислим $l$:
Так как из $\frac{3}{6}$ нельзя вычесть $\frac{5}{6}$, "займем" единицу из целой части 4. Тогда $4\frac{3}{6}$ станет $3\frac{9}{6}$.
$l = 3\frac{9}{6} - 3\frac{5}{6} = (3 - 3) + (\frac{9}{6} - \frac{5}{6}) = 0 + \frac{4}{6} = \frac{4}{6}$

5. Упростим дробь:
Дробь $\frac{4}{6}$ можно упростить, разделив и числитель, и знаменатель на 2:
$\frac{4}{6} = \frac{4 : 2}{6 : 2} = \frac{2}{3}$
Ответ: $l = \frac{2}{3}$