Выполните действия:
а) $4\frac{13}{24} + \frac{1}{8} - 3\frac{1}{24}$;
б) $3\frac{8}{9} + 1\frac{3}{4} + \frac{1}{9}$;
в) $5\frac{1}{2} - 2\frac{7}{12} - 2\frac{3}{10}$;
г) $4\frac{2}{3} + 2\frac{3}{4} - 1\frac{5}{12}$.

Теория

Чтобы успешно решать примеры с дробями, нам понадобятся следующие знания:

1. Смешанные числа: Смешанное число состоит из целой части и дробной части (например, $2\frac{1}{3}$).
2. Правильные и неправильные дроби: Правильная дробь – это дробь, у которой числитель меньше знаменателя (например, $\frac{2}{5}$). Неправильная дробь – это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю (например, $\frac{7}{3}$).
3. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и привести каждую дробь к этому знаменателю.
4. Сложение и вычитание смешанных чисел:

• Можно сложить (вычесть) отдельно целые части и отдельно дробные части.
• Если при вычитании дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, нужно занять единицу из целой части уменьшаемого и представить её в виде дроби с нужным знаменателем.

5. Сокращение дробей: После выполнения действий с дробями, результат (если возможно) нужно упростить, то есть сократить дробь.

Решение

Теперь решим примеры по шагам:

а) $4\frac{13}{24} + \frac{1}{8} - 3\frac{1}{24}$

1. Сначала сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:
$(4\frac{13}{24} - 3\frac{1}{24}) + \frac{1}{8}$
2. Выполним вычитание в скобках:
$(4 - 3) + (\frac{13}{24} - \frac{1}{24}) = 1 + \frac{12}{24} = 1\frac{12}{24}$
3. Сократим дробь $\frac{12}{24}$:
$1\frac{12}{24} = 1\frac{1}{2}$
4. Приведем дроби к общему знаменателю 8:
$1\frac{1}{2} = 1\frac{1 \cdot 4}{2 \cdot 4} = 1\frac{4}{8}$
5. Выполним сложение:
$1\frac{4}{8} + \frac{1}{8} = 1\frac{4+1}{8} = 1\frac{5}{8}$

Ответ: $1\frac{5}{8}$

б) $3\frac{8}{9} + 1\frac{3}{4} + \frac{1}{9}$

1. Сгруппируем дроби с одинаковыми знаменателями:
$(3\frac{8}{9} + \frac{1}{9}) + 1\frac{3}{4}$
2. Выполним сложение в скобках:
$(3 + \frac{8}{9} + \frac{1}{9}) = 3 + \frac{9}{9} = 3 + 1 = 4$
3. Выполним сложение:
$4 + 1\frac{3}{4} = 5\frac{3}{4}$

Ответ: $5\frac{3}{4}$

в) $5\frac{1}{2} - 2\frac{7}{12} - 2\frac{3}{10}$

1. Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(2, 12, 10) = 60.
$5\frac{1}{2} = 5\frac{1 \cdot 30}{2 \cdot 30} = 5\frac{30}{60}$
$2\frac{7}{12} = 2\frac{7 \cdot 5}{12 \cdot 5} = 2\frac{35}{60}$
$2\frac{3}{10} = 2\frac{3 \cdot 6}{10 \cdot 6} = 2\frac{18}{60}$
2. Выполним вычитание:
$5\frac{30}{60} - 2\frac{35}{60} - 2\frac{18}{60}$
3. Так как $\frac{30}{60} < \frac{35}{60}$, занимаем единицу из целой части:
$5\frac{30}{60} = 4\frac{60+30}{60} = 4\frac{90}{60}$
4. Выполним вычитание:
$4\frac{90}{60} - 2\frac{35}{60} - 2\frac{18}{60} = (4-2-2) + (\frac{90}{60} - \frac{35}{60} - \frac{18}{60}) = 0 + \frac{90-35-18}{60} = \frac{37}{60}$

Ответ: $\frac{37}{60}$

г) $4\frac{2}{3} + 2\frac{3}{4} - 1\frac{5}{12}$

1. Приведем дроби к общему знаменателю. НОК(3, 4, 12) = 12.
$4\frac{2}{3} = 4\frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = 4\frac{8}{12}$
$2\frac{3}{4} = 2\frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = 2\frac{9}{12}$
$1\frac{5}{12}$ − уже с нужным знаменателем.
2. Выполним сложение и вычитание:
$4\frac{8}{12} + 2\frac{9}{12} - 1\frac{5}{12} = (4+2-1) + (\frac{8}{12} + \frac{9}{12} - \frac{5}{12}) = 5 + \frac{8+9-5}{12} = 5 + \frac{12}{12} = 5 + 1 = 6$

Ответ: 6