Найдите сумму:
а) $38\frac{1}{8} + 4\frac{5}{24}$;
б) $4\frac{19}{75} + 6\frac{17}{45}$;
в) $47\frac{3}{14} + 1\frac{8}{21}$;
г) $54\frac{3}{4} + 18\frac{5}{6}$;
д) $28\frac{5}{9} + 13\frac{3}{4}$;
е) $\frac{4}{7} + 2\frac{3}{5}$;
ж) $9 + 2\frac{2}{9}$;
з) $3\frac{11}{24} + \frac{1}{6}$.

Для того чтобы успешно решить данные примеры, нам нужно вспомнить несколько важных правил работы с дробями:

1. Что такое смешанная дробь?

Смешанная дробь − это число, состоящее из целой части и дробной части (правильной дроби). Например, $2\frac{1}{3}$ − это смешанная дробь, где 2 − целая часть, а $\frac{1}{3}$ − дробная часть.

2. Как сложить две смешанные дроби?

Чтобы сложить две смешанные дроби, нужно:
а) Сложить отдельно целые части.
б) Сложить отдельно дробные части.
в) Если при сложении дробных частей получилась неправильная дробь (числитель больше знаменателя), нужно выделить целую часть из этой неправильной дроби и добавить её к целой части суммы.

3. Что такое общий знаменатель?

Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Этот одинаковый знаменатель называется общим знаменателем.

4. Как найти общий знаменатель?

Самый простой способ найти общий знаменатель − это найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

5. Как привести дроби к общему знаменателю?

Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно:
а) Разделить новый знаменатель на старый знаменатель. Получится дополнительный множитель.
б) Умножить числитель и знаменатель дроби на этот дополнительный множитель.

6. Как упростить дробь?

Чтобы упростить дробь (сократить её), нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и разделить на него и числитель, и знаменатель.

Теперь посмотрим на твои решения:

а) $38\frac{1}{8} + 4\frac{5}{24}$

Находим общий знаменатель для дробей $\frac{1}{8}$ и $\frac{5}{24}$. Наименьшее общее кратное чисел 8 и 24 − это 24.
Приводим первую дробь к знаменателю 24: $\frac{1}{8} = \frac{1 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{3}{24}$.
Теперь складываем: $38\frac{3}{24} + 4\frac{5}{24} = (38 + 4) + (\frac{3}{24} + \frac{5}{24}) = 42 + \frac{8}{24}$.
Упрощаем дробь $\frac{8}{24}$, разделив числитель и знаменатель на 8: $\frac{8}{24} = \frac{1}{3}$.
Получаем: $42\frac{1}{3}$.

б) $4\frac{19}{75} + 6\frac{17}{45}$

Находим общий знаменатель для дробей $\frac{19}{75}$ и $\frac{17}{45}$. Наименьшее общее кратное чисел 75 и 45 − это 225.
Приводим первую дробь к знаменателю 225: $\frac{19}{75} = \frac{19 \cdot 3}{75 \cdot 3} = \frac{57}{225}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 225: $\frac{17}{45} = \frac{17 \cdot 5}{45 \cdot 5} = \frac{85}{225}$.
Теперь складываем: $4\frac{57}{225} + 6\frac{85}{225} = (4 + 6) + (\frac{57}{225} + \frac{85}{225}) = 10 + \frac{142}{225}$.
Получаем: $10\frac{142}{225}$.

в) $47\frac{3}{14} + 1\frac{8}{21}$

Находим общий знаменатель для дробей $\frac{3}{14}$ и $\frac{8}{21}$. Наименьшее общее кратное чисел 14 и 21 − это 42.
Приводим первую дробь к знаменателю 42: $\frac{3}{14} = \frac{3 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{9}{42}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 42: $\frac{8}{21} = \frac{8 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{16}{42}$.
Теперь складываем: $47\frac{9}{42} + 1\frac{16}{42} = (47 + 1) + (\frac{9}{42} + \frac{16}{42}) = 48 + \frac{25}{42}$.
Получаем: $48\frac{25}{42}$.

г) $54\frac{3}{4} + 18\frac{5}{6}$

Находим общий знаменатель для дробей $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{6}$. Наименьшее общее кратное чисел 4 и 6 − это 12.
Приводим первую дробь к знаменателю 12: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 12: $\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{10}{12}$.
Теперь складываем: $54\frac{9}{12} + 18\frac{10}{12} = (54 + 18) + (\frac{9}{12} + \frac{10}{12}) = 72 + \frac{19}{12}$.
Выделяем целую часть из неправильной дроби $\frac{19}{12}$: $\frac{19}{12} = 1\frac{7}{12}$.
Получаем: $72 + 1\frac{7}{12} = 73\frac{7}{12}$.

д) $28\frac{5}{9} + 13\frac{3}{4}$

Находим общий знаменатель для дробей $\frac{5}{9}$ и $\frac{3}{4}$. Наименьшее общее кратное чисел 9 и 4 − это 36.
Приводим первую дробь к знаменателю 36: $\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{20}{36}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 36: $\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 9}{4 \cdot 9} = \frac{27}{36}$.
Теперь складываем: $28\frac{20}{36} + 13\frac{27}{36} = (28 + 13) + (\frac{20}{36} + \frac{27}{36}) = 41 + \frac{47}{36}$.
Выделяем целую часть из неправильной дроби $\frac{47}{36}$: $\frac{47}{36} = 1\frac{11}{36}$.
Получаем: $41 + 1\frac{11}{36} = 42\frac{11}{36}$.

е) $\frac{4}{7} + 2\frac{3}{5}$

Представим $\frac{4}{7}$ как $0\frac{4}{7}$.
Находим общий знаменатель для дробей $\frac{4}{7}$ и $\frac{3}{5}$. Наименьшее общее кратное чисел 7 и 5 − это 35.
Приводим первую дробь к знаменателю 35: $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 35: $\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$.
Теперь складываем: $0\frac{20}{35} + 2\frac{21}{35} = (0 + 2) + (\frac{20}{35} + \frac{21}{35}) = 2 + \frac{41}{35}$.
Выделяем целую часть из неправильной дроби $\frac{41}{35}$: $\frac{41}{35} = 1\frac{6}{35}$.
Получаем: $2 + 1\frac{6}{35} = 3\frac{6}{35}$.

ж) $9 + 2\frac{2}{9}$

Представим 9 как $9\frac{0}{9}$
Теперь складываем: $9 + 2\frac{2}{9} = (9 + 2) + \frac{2}{9} = 11\frac{2}{9}$.

з) $3\frac{11}{24} + \frac{1}{6}$

Представим $\frac{1}{6}$ как $0\frac{1}{6}$.
Находим общий знаменатель для дробей $\frac{11}{24}$ и $\frac{1}{6}$. Наименьшее общее кратное чисел 24 и 6 − это 24.
Приводим вторую дробь к знаменателю 24: $\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} = \frac{4}{24}$.
Теперь складываем: $3\frac{11}{24} + 0\frac{4}{24} = (3 + 0) + (\frac{11}{24} + \frac{4}{24}) = 3 + \frac{15}{24}$.
Упрощаем дробь $\frac{15}{24}$, разделив числитель и знаменатель на 3: $\frac{15}{24} = \frac{5}{8}$.
Получаем: $3\frac{5}{8}$.