Найдите периметр четырехугольника DEFK, если известны его стороны:
а) $DE = 3\frac{5}{7}$ см, $EF = 4\frac{9}{14}$ см, $FK = 3\frac{1}{2}$ см и DK = 4 см;
б) $DE = 7\frac{9}{10}$ дм, $EF = 6\frac{1}{12}$ дм, $FK = 5\frac{7}{15}$ дм и DK = 7 дм.

Сначала давай разберемся с теорией, чтобы ты всё хорошо понял, а потом решим задачу по шагам.

Теория

1. Четырехугольник: Это многоугольник с четырьмя сторонами и четырьмя углами.

2. Периметр: Периметр любой фигуры – это сумма длин всех её сторон. Чтобы найти периметр четырехугольника, нужно сложить длины всех его четырех сторон.

3. Смешанные числа: Числа, состоящие из целой и дробной части, называются смешанными числами (например, $3\frac{5}{7}$).

4. Сложение смешанных чисел:

• Чтобы сложить смешанные числа, сначала складываем их целые части, а затем – дробные.
• Если при сложении дробных частей получается неправильная дробь (числитель больше знаменателя), её нужно преобразовать в смешанное число и прибавить целую часть к уже полученной целой части суммы.

5. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого:

• Находим наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей дробей. НОК будет общим знаменателем.
• Для каждой дроби находим дополнительный множитель (делим общий знаменатель на знаменатель дроби).
• Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Решение

а) Дано: $DE = 3\frac{5}{7}$ см, $EF = 4\frac{9}{14}$ см, $FK = 3\frac{1}{2}$ см, $DK = 4$ см.

Найти: $P_{DEFK}$.

Решение:

1. Запишем формулу для периметра:

$P_{DEFK} = DE + EF + FK + DK$

2. Подставим известные значения:

$P_{DEFK} = 3\frac{5}{7} + 4\frac{9}{14} + 3\frac{1}{2} + 4$

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 7, 14 и 2 будет 14.

• Для дроби $\frac{5}{7}$ дополнительный множитель равен $14 : 7 = 2$. Тогда $\frac{5}{7} = \frac{5 \cdot 2}{7 \cdot 2} = \frac{10}{14}$.
• Для дроби $\frac{9}{14}$ дополнительный множитель равен $14 : 14 = 1$. Тогда $\frac{9}{14} = \frac{9 \cdot 1}{14 \cdot 1} = \frac{9}{14}$.
• Для дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель равен $14 : 2 = 7$. Тогда $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 7} = \frac{7}{14}$.

4. Перепишем выражение с общим знаменателем:

$P_{DEFK} = 3\frac{10}{14} + 4\frac{9}{14} + 3\frac{7}{14} + 4$

5. Сложим целые и дробные части:

$P_{DEFK} = (3 + 4 + 3 + 4) + (\frac{10}{14} + \frac{9}{14} + \frac{7}{14}) = 14 + \frac{26}{14}$

6. Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{26}{14} = 1\frac{12}{14} = 1\frac{6}{7}$

7. Подставим обратно в выражение для периметра:

$P_{DEFK} = 14 + 1\frac{6}{7} = 15\frac{6}{7}$ (см)

Ответ: $15\frac{6}{7}$ см

б) Дано: $DE = 7\frac{9}{10}$ дм, $EF = 6\frac{1}{12}$ дм, $FK = 5\frac{7}{15}$ дм, $DK = 7$ дм.

Найти: $P_{DEFK}$.

Решение:

1. Запишем формулу для периметра:

$P_{DEFK} = DE + EF + FK + DK$

2. Подставим известные значения:

$P_{DEFK} = 7\frac{9}{10} + 6\frac{1}{12} + 5\frac{7}{15} + 7$

3. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 10, 12 и 15 будет 60.

• Для дроби $\frac{9}{10}$ дополнительный множитель равен $60 : 10 = 6$. Тогда $\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 6}{10 \cdot 6} = \frac{54}{60}$.
• Для дроби $\frac{1}{12}$ дополнительный множитель равен $60 : 12 = 5$. Тогда $\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{5}{60}$.
• Для дроби $\frac{7}{15}$ дополнительный множитель равен $60 : 15 = 4$. Тогда $\frac{7}{15} = \frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$.

4. Перепишем выражение с общим знаменателем:

$P_{DEFK} = 7\frac{54}{60} + 6\frac{5}{60} + 5\frac{28}{60} + 7$

5. Сложим целые и дробные части:

$P_{DEFK} = (7 + 6 + 5 + 7) + (\frac{54}{60} + \frac{5}{60} + \frac{28}{60}) = 25 + \frac{87}{60}$

6. Выделим целую часть из неправильной дроби:

$\frac{87}{60} = 1\frac{27}{60} = 1\frac{9}{20}$

7. Подставим обратно в выражение для периметра:

$P_{DEFK} = 25 + 1\frac{9}{20} = 26\frac{9}{20}$ (дм)

Ответ: $26\frac{9}{20}$ дм