Котлован под фундамент нового здания первый экскаватор может выкопать за 8 дней, второй − за 12 дней, а третий − за 15 дней. Какую часть котлована останется выкопать после того, как первый экскаватор отработает 3 дня, второй − 5 дней, а третий − 2 дня?

Теория:

1. Работа и время: Если кто−то (или что−то, например, экскаватор) выполняет работу за определенное время, то можно говорить о его производительности. Производительность – это объем работы, выполняемый за единицу времени.

2. Дробь как часть целого: Если вся работа (в нашем случае – выкопать весь котлован) принимается за 1, то часть работы можно выразить дробью. Например, если экскаватор выкапывает половину котлована, то это $\frac{1}{2}$ часть работы.

3. Сложение дробей: Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель – это число, которое делится на каждый из знаменателей. Далее складываются числители, а знаменатель остается прежним.

4. Вычитание дробей: Чтобы вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю. Затем из числителя первой дроби вычитается числитель второй дроби, а знаменатель остается прежним.

Теперь решим задачу по шагам:

1. Производительность экскаваторов:

• Первый экскаватор выкапывает весь котлован за 8 дней, значит, за 1 день он выкапывает $\frac{1}{8}$ котлована.
• Второй экскаватор выкапывает весь котлован за 12 дней, значит, за 1 день он выкапывает $\frac{1}{12}$ котлована.
• Третий экскаватор выкапывает весь котлован за 15 дней, значит, за 1 день он выкапывает $\frac{1}{15}$ котлована.

2. Сколько каждый экскаватор выкопал за отведенное время:

• Первый экскаватор работал 3 дня, значит, он выкопал $3 \cdot \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$ котлована.
• Второй экскаватор работал 5 дней, значит, он выкопал $5 \cdot \frac{1}{12} = \frac{5}{12}$ котлована.
• Третий экскаватор работал 2 дня, значит, он выкопал $2 \cdot \frac{1}{15} = \frac{2}{15}$ котлована.

3. Общая часть котлована, выкопанная всеми экскаваторами:
Чтобы узнать, сколько котлована выкопали все экскаваторы вместе, нужно сложить дроби:
$\frac{3}{8} + \frac{5}{12} + \frac{2}{15}$.

Наименьший общий знаменатель для 8, 12 и 15 – это 120. Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 15}{8 \cdot 15} = \frac{45}{120}$
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 10}{12 \cdot 10} = \frac{50}{120}$
$\frac{2}{15} = \frac{2 \cdot 8}{15 \cdot 8} = \frac{16}{120}$

Теперь сложим дроби:
$\frac{45}{120} + \frac{50}{120} + \frac{16}{120} = \frac{45 + 50 + 16}{120} = \frac{111}{120}$

4. Какая часть котлована осталась невыкопанной:
Чтобы узнать, какая часть котлована осталась, нужно из 1 (весь котлован) вычесть ту часть, которую уже выкопали:
$1 - \frac{111}{120} = \frac{120}{120} - \frac{111}{120} = \frac{120 - 111}{120} = \frac{9}{120}$

5. Упрощение дроби (по желанию):
Дробь $\frac{9}{120}$ можно упростить, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель, который равен 3:
$\frac{9}{120} = \frac{9 : 3}{120 : 3} = \frac{3}{40}$

Ответ: Осталось выкопать $\frac{9}{120}$ или $\frac{3}{40}$ котлована.