Найдите корень уравнения:
а) $x + 3\frac{8}{13} = 6$;
б) $14\frac{4}{9} + y = 23$;
в) $a - 7\frac{5}{8} = \frac{7}{12}$;
г) $12\frac{1}{6} - b = 4\frac{8}{15}$;
д) $5\frac{25}{36} - t = 1\frac{1}{12} + 2\frac{3}{8}$;
е) $\frac{4}{7} - \frac{1}{3} + z = \frac{13}{14} - \frac{5}{8}$.

Теория

1. Что такое уравнение? Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число (обычно обозначается буквами x, y, a, b, z и т.д.). Наша задача – найти это неизвестное число, чтобы равенство стало верным. Это число называется корнем уравнения.

2. Основные правила решения уравнений:

• Равносильные преобразования: Мы можем выполнять одни и те же действия с обеими частями уравнения, чтобы упростить его и в итоге найти неизвестное. Важно, чтобы при этом корень уравнения не изменился. Такие преобразования называются равносильными.

• Перенос слагаемых: Мы можем переносить слагаемые из одной части уравнения в другую, меняя при этом знак на противоположный. Например, если у нас есть уравнение x + a = b, то мы можем перенести a в правую часть, получив x = b − a.

• Умножение/деление на одно и то же число: Мы можем умножить или разделить обе части уравнения на одно и то же число (не равное нулю). Например, если у нас есть уравнение ax = b, то мы можем разделить обе части на a, получив x = b : a.

3. Работа с дробями и смешанными числами:

• Смешанное число в неправильную дробь: Чтобы удобнее было выполнять арифметические действия, смешанное число (например, $2\frac{1}{3}$) нужно преобразовать в неправильную дробь. Для этого целую часть умножаем на знаменатель дробной части, прибавляем числитель и записываем результат в числитель, а знаменатель остается прежним: $2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$.

• Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, они должны иметь одинаковый знаменатель. Для этого находим наименьший общий знаменатель (НОЗ) и приводим каждую дробь к этому знаменателю, умножая числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.

Теперь давай проверим и разберем каждое уравнение:

а) $x + 3\frac{8}{13} = 6$

Чтобы найти x, нужно из 6 вычесть $3\frac{8}{13}$:
$x = 6 - 3\frac{8}{13}$
Представим 6 как $5\frac{13}{13}$:
$x = 5\frac{13}{13} - 3\frac{8}{13}$
$x = 2\frac{5}{13}$

Ответ: $x = 2\frac{5}{13}$

б) $14\frac{4}{9} + y = 23$

Чтобы найти y, нужно из 23 вычесть $14\frac{4}{9}$:
$y = 23 - 14\frac{4}{9}$
Представим 23 как $22\frac{9}{9}$:
$y = 22\frac{9}{9} - 14\frac{4}{9}$
$y = 8\frac{5}{9}$

Ответ: $y = 8\frac{5}{9}$

в) $a - 7\frac{5}{8} = \frac{7}{12}$

Чтобы найти a, нужно к $\frac{7}{12}$ прибавить $7\frac{5}{8}$:
$a = \frac{7}{12} + 7\frac{5}{8}$
Приведем дроби к общему знаменателю 24:
$a = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} + 7\frac{5 \cdot 3}{8 \cdot 3}$
$a = \frac{14}{24} + 7\frac{15}{24}$
$a = 7\frac{29}{24}$
Выделим целую часть из неправильной дроби:
$a = 7 + 1\frac{5}{24} = 8\frac{5}{24}$

Ответ: $a = 8\frac{5}{24}$

г) $12\frac{1}{6} - b = 4\frac{8}{15}$

Чтобы найти b, нужно из $12\frac{1}{6}$ вычесть $4\frac{8}{15}$:
$b = 12\frac{1}{6} - 4\frac{8}{15}$
Приведем дроби к общему знаменателю 30:
$b = 12\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} - 4\frac{8 \cdot 2}{15 \cdot 2}$
$b = 12\frac{5}{30} - 4\frac{16}{30}$
Так как из $\frac{5}{30}$ нельзя вычесть $\frac{16}{30}$, занимаем 1 у 12:
$b = 11\frac{35}{30} - 4\frac{16}{30}$
$b = 7\frac{19}{30}$

Ответ: $b = 7\frac{19}{30}$

д) $5\frac{25}{36} - t = 1\frac{1}{12} + 2\frac{3}{8}$

Сначала упростим правую часть уравнения:
$1\frac{1}{12} + 2\frac{3}{8} = 1\frac{1 \cdot 2}{12 \cdot 2} + 2\frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = 1\frac{2}{24} + 2\frac{9}{24} = 3\frac{11}{24}$
Теперь у нас уравнение: $5\frac{25}{36} - t = 3\frac{11}{24}$
Чтобы найти t, нужно из $5\frac{25}{36}$ вычесть $3\frac{11}{24}$:
$t = 5\frac{25}{36} - 3\frac{11}{24}$
Приведем дроби к общему знаменателю 72:
$t = 5\frac{25 \cdot 2}{36 \cdot 2} - 3\frac{11 \cdot 3}{24 \cdot 3}$
$t = 5\frac{50}{72} - 3\frac{33}{72}$
$t = 2\frac{17}{72}$

Ответ: $t = 2\frac{17}{72}$

е) $\frac{4}{7} - \frac{1}{3} + z = \frac{13}{14} - \frac{5}{8}$

Сначала упростим левую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю 21:
$\frac{4}{7} - \frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3}{7 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{12}{21} - \frac{7}{21} = \frac{5}{21}$
Теперь упростим правую часть уравнения, приведя дроби к общему знаменателю 56:
$\frac{13}{14} - \frac{5}{8} = \frac{13 \cdot 4}{14 \cdot 4} - \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{52}{56} - \frac{35}{56} = \frac{17}{56}$
Теперь у нас уравнение: $\frac{5}{21} + z = \frac{17}{56}$
Чтобы найти z, нужно из $\frac{17}{56}$ вычесть $\frac{5}{21}$:
$z = \frac{17}{56} - \frac{5}{21}$
Приведем дроби к общему знаменателю 168:
$z = \frac{17 \cdot 3}{56 \cdot 3} - \frac{5 \cdot 8}{21 \cdot 8}$
$z = \frac{51}{168} - \frac{40}{168}$
$z = \frac{11}{168}$

Ответ: $z = \frac{11}{168}$