Как найти разность смешанных чисел?
На каких свойствах основано правило вычитания смешанных чисел?

Для успешного решения задач на вычитание смешанных чисел, давай разберемся с теорией.

Что такое смешанное число?

Смешанное число – это число, которое состоит из целой части и дробной части. Например, $3\frac{1}{2}$ – это смешанное число, где 3 – целая часть, а $\frac{1}{2}$ – дробная часть.

Как представить смешанное число в виде неправильной дроби?

Чтобы представить смешанное число в виде неправильной дроби, нужно:

1. Умножить целую часть на знаменатель дробной части.
2. Прибавить полученное произведение к числителю дробной части.
3. Записать полученную сумму в числитель, а знаменатель оставить прежним.

Например: $3\frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2}$

Как выделить целую часть из неправильной дроби?

Чтобы выделить целую часть из неправильной дроби, нужно:

1. Разделить числитель на знаменатель.
2. Записать частное в качестве целой части.
3. Записать остаток в качестве числителя, а знаменатель оставить прежним.

Например: $\frac{7}{2} = 7 : 2 = 3$ (остаток 1), значит $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

Основное свойство дроби

Основное свойство дроби говорит нам о том, что если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (кроме нуля), то получится равная ей дробь.

Например: $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

Приведение дробей к общему знаменателю

Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно:

1. Найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей. Это и будет общий знаменатель.
2. Для каждой дроби найти дополнительный множитель (разделить общий знаменатель на её знаменатель).
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

Например: приведем дроби $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$ к общему знаменателю.

1. НОК(2, 3) = 6.
2. Для дроби $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель 6 : 2 = 3.
3. Для дроби $\frac{1}{3}$ дополнительный множитель 6 : 3 = 2.
4. $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$, $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$

Свойства вычитания

Вычитание числа из суммы: $(a + b) - c = (a - c) + b = a + (b - c)$
Вычитание суммы из числа: $a - (b + c) = (a - b) - c = (a - c) - b$

Теперь, когда мы повторили теорию, давай перейдем к правилу вычитания смешанных чисел, которое ты указал.

Правило вычитания смешанных чисел

Чтобы найти разность смешанных чисел:

1. Привести дробные части этих чисел к наименьшему общему знаменателю.
2. Если дробная часть уменьшаемого больше дробной части вычитаемого, то надо отдельно вычесть целые и отдельно дробные части и результаты сложить.
3. Если дробная часть уменьшаемого меньше дробной части вычитаемого, то надо "занять" единицу из целой части уменьшаемого, представить её в виде дроби с нужным знаменателем и прибавить к дробной части уменьшаемого. Выполнить вычитание по пункту 2.
4. При необходимости сократить дробь.

Обоснование правила вычитания смешанных чисел

Правило вычитания смешанных чисел основано на свойствах вычитания и основном свойстве дроби.

Пусть нам нужно вычесть $3\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$.

1. Приведем дроби к общему знаменателю: $3\frac{1}{3} = 3\frac{2}{6}$, $1\frac{1}{2} = 1\frac{3}{6}$
2. Теперь у нас $3\frac{2}{6} - 1\frac{3}{6}$. Видим, что $\frac{2}{6} < \frac{3}{6}$.
3. Занимаем единицу из целой части уменьшаемого: $3\frac{2}{6} = 2 + 1 + \frac{2}{6} = 2 + \frac{6}{6} + \frac{2}{6} = 2\frac{8}{6}$
4. Теперь вычитаем: $2\frac{8}{6} - 1\frac{3}{6} = (2 - 1) + (\frac{8}{6} - \frac{3}{6}) = 1 + \frac{5}{6} = 1\frac{5}{6}$

Здесь мы использовали свойство вычитания числа из суммы, представив смешанное число в виде суммы целой и дробной частей, а затем выполнили вычитание по частям.