Как найти сумму смешанных чисел?
На каких свойствах сложения основано правило сложения смешанных чисел?

Для того чтобы успешно складывать смешанные числа, нам нужно хорошо понимать, что такое смешанное число и как оно устроено.

Смешанное число – это число, которое состоит из целой части и дробной части. Например, $3\frac{1}{2}$ – смешанное число, где 3 – целая часть, а $\frac{1}{2}$ – дробная часть.

Дробная часть всегда меньше единицы. Это значит, что числитель дроби меньше знаменателя.

Теперь давай разберемся, как складывать смешанные числа. Вот основные шаги:

1. Приведение дробей к общему знаменателю (если необходимо):

• Если у дробей в смешанных числах разные знаменатели, нужно привести их к общему знаменателю. Это значит, что нужно найти такое число, которое делится на оба знаменателя, и привести дроби к этому знаменателю.
• Например, чтобы сложить $2\frac{1}{3}$ и $1\frac{1}{4}$, нужно привести дроби $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$ к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 – это 12. $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$ $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$ Теперь наши смешанные числа выглядят так: $2\frac{4}{12}$ и $1\frac{3}{12}$.

2. Сложение целых и дробных частей по отдельности:
Складываем целые части: $2 + 1 = 3$.
Складываем дробные части: $\frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{4+3}{12} = \frac{7}{12}$.

3. Запись результата:
Соединяем целую и дробную части: $3\frac{7}{12}$.

4. Упрощение результата (если необходимо):

• Если дробная часть получилась неправильной (числитель больше знаменателя), нужно выделить целую часть из дроби и прибавить её к целой части смешанного числа.
• Если дробную часть можно сократить, нужно это сделать.

Теперь о свойствах сложения, которые помогают нам складывать смешанные числа:

1. Переместительное свойство: От перестановки мест слагаемых сумма не меняется.
$a + b = b + a$
Это позволяет нам менять порядок смешанных чисел, если нам так удобнее.

2. Сочетательное свойство: Чтобы прибавить к числу сумму двух чисел, можно сначала прибавить первое слагаемое, а потом к полученной сумме прибавить второе слагаемое.
$(a + b) + c = a + (b + c)$
Это позволяет нам группировать целые и дробные части при сложении смешанных чисел. Сначала сложить целые части, потом дробные, а затем сложить результаты.

Пример:

Вычислим сумму $1\frac{2}{5} + 2\frac{3}{5}$.

1. Проверяем знаменатели: Знаменатели одинаковые (5), поэтому не нужно приводить к общему знаменателю.
2. Складываем целые части: $1 + 2 = 3$.
3. Складываем дробные части: $\frac{2}{5} + \frac{3}{5} = \frac{2+3}{5} = \frac{5}{5}$.
4. Записываем результат: $3\frac{5}{5}$.
5. Упрощаем результат: $\frac{5}{5} = 1$, поэтому $3\frac{5}{5} = 3 + 1 = 4$.

Ответ: $1\frac{2}{5} + 2\frac{3}{5} = 4$.