Решите уравнение:
а) $x + \frac{7}{20} = \frac{4}{5}$;
б) $x - \frac{2}{3} = \frac{2}{4}$;
в) $\frac{11}{12} - x = \frac{1}{18}$.

Теория для решения уравнений с дробями

Для решения уравнений, в которых переменная x связана с дробями через сложение или вычитание, нужно помнить несколько ключевых моментов:

1. Основная цель: Наша цель − изолировать x на одной стороне уравнения. Это значит, что мы хотим получить уравнение вида x = ..., где вместо многоточия стоит число или выражение.
2. Перенос членов уравнения: Мы можем переносить члены уравнения (числа или выражения с x) из одной части уравнения в другую. При этом, когда мы переносим член через знак "=", его знак меняется на противоположный.
Если член был с плюсом (+), он становится с минусом (−).
Если член был с минусом (−), он становится с плюсом (+).
3. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы складывать или вычитать дроби, они должны иметь одинаковый знаменатель. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и умножить числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.
4. Сложение и вычитание дробей с одинаковым знаменателем: Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковым знаменателем, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений.
5. Сокращение дробей: После сложения или вычитания дробей, полученную дробь нужно сократить, если это возможно. Для этого нужно найти наибольший общий делитель (НОД) числителя и знаменателя и разделить на него и числитель, и знаменатель.
6. Выделение целой части из неправильной дроби: Если числитель дроби больше знаменателя (неправильная дробь), то из нее можно выделить целую часть. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Частное будет целой частью, остаток − числителем новой дроби, а знаменатель останется прежним.

Решение уравнений

Теперь применим эти знания для решения уравнений из задания.

а) $x + \frac{7}{20} = \frac{4}{5}$

Чтобы найти x, нужно перенести $\frac{7}{20}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = \frac{4}{5} - \frac{7}{20}$

Теперь нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 20 равен 20. Поэтому приводим первую дробь к знаменателю 20.

$x = \frac{4 \cdot 4}{5 \cdot 4} - \frac{7}{20}$
$x = \frac{16}{20} - \frac{7}{20}$

Теперь вычитаем дроби с одинаковым знаменателем:

$x = \frac{16 - 7}{20}$
$x = \frac{9}{20}$

Ответ: $x = \frac{9}{20}$

б) $x - \frac{2}{3} = \frac{2}{4}$

Чтобы найти x, нужно перенести $\frac{2}{3}$ в правую часть уравнения с противоположным знаком:

$x = \frac{2}{4} + \frac{2}{3}$

Теперь нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.

$x = \frac{2 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4}$
$x = \frac{6}{12} + \frac{8}{12}$

Теперь складываем дроби с одинаковым знаменателем:

$x = \frac{6 + 8}{12}$
$x = \frac{14}{12}$

Сокращаем дробь на 2:

$x = \frac{7}{6}$

Выделяем целую часть:

$x = 1\frac{1}{6}$

Ответ: $x = 1\frac{1}{6}$

в) $\frac{11}{12} - x = \frac{1}{18}$

В этом случае нам нужно перенести x в правую часть, а $\frac{1}{18}$ в левую часть.
Чтобы не запутаться со знаками, можно сначала прибавить x с обеих сторон уравнения:

$\frac{11}{12} - x + x = \frac{1}{18} + x$
$\frac{11}{12} = \frac{1}{18} + x$

Теперь вычтем $\frac{1}{18}$ из обеих частей уравнения:

$\frac{11}{12} - \frac{1}{18} = \frac{1}{18} - \frac{1}{18} + x$
$\frac{11}{12} - \frac{1}{18} = x$
$x = \frac{11}{12} - \frac{1}{18}$

Теперь нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 18 равен 36.

$x = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{18 \cdot 2}$
$x = \frac{33}{36} - \frac{2}{36}$

Теперь вычитаем дроби с одинаковым знаменателем:

$x = \frac{33 - 2}{36}$
$x = \frac{31}{36}$

Ответ: $x = \frac{31}{36}$