Сравните дроби:
а) $\frac{5}{9}$ и 0,56;
б) 0,2 и $\frac{3}{11}$;
в) $\frac{2}{7}$ и 0,25.

Теория

Чтобы сравнить дробь и десятичную дробь, нужно привести их к одному виду. Есть два способа:

1. Преобразовать обыкновенную дробь в десятичную: Для этого нужно разделить числитель на знаменатель. Например, $\frac{1}{2} = 1 : 2 = 0,5$.

2. Преобразовать десятичную дробь в обыкновенную: Для этого нужно записать десятичную дробь в виде обыкновенной дроби со знаменателем 10, 100, 1000 и т.д., а затем, если возможно, сократить её. Например, $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.

После того, как обе дроби будут в одном виде (либо обе обыкновенные, либо обе десятичные), их можно сравнить.

Сравнение десятичных дробей: Сравниваем целую часть, если они равны, то сравниваем дробную часть по разрядам (десятые, сотые, тысячные и т.д.).
Сравнение обыкновенных дробей:

Если у дробей одинаковые знаменатели, то больше та дробь, у которой больше числитель. Например, $\frac{3}{7} > \frac{2}{7}$.

Если у дробей разные знаменатели, то нужно привести их к общему знаменателю, а затем сравнить числители. Чтобы привести дроби к общему знаменателю, нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и привести каждую дробь к этому знаменателю, умножив числитель и знаменатель на соответствующий дополнительный множитель.

Решение

a) $\frac{5}{9}$ и 0,56

1. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,56 = \frac{56}{100} = \frac{14}{25}$.
2. Теперь нужно сравнить $\frac{5}{9}$ и $\frac{14}{25}$.
3. Находим НОЗ(9, 25) = 225.
4. Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{5}{9} = \frac{5 \cdot 25}{9 \cdot 25} = \frac{125}{225}$
$\frac{14}{25} = \frac{14 \cdot 9}{25 \cdot 9} = \frac{126}{225}$
5. Сравниваем дроби: $\frac{125}{225} < \frac{126}{225}$, значит $\frac{5}{9} < 0,56$.

б) 0,2 и $\frac{3}{11}$

1. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
2. Теперь нужно сравнить $\frac{1}{5}$ и $\frac{3}{11}$.
3. Находим НОЗ(5, 11) = 55.
4. Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 11}{5 \cdot 11} = \frac{11}{55}$
$\frac{3}{11} = \frac{3 \cdot 5}{11 \cdot 5} = \frac{15}{55}$
5. Сравниваем дроби: $\frac{11}{55} < \frac{15}{55}$, значит $0,2 < \frac{3}{11}$.

в) $\frac{2}{7}$ и 0,25

1. Преобразуем десятичную дробь в обыкновенную: $0,25 = \frac{25}{100} = \frac{1}{4}$.
2. Теперь нужно сравнить $\frac{2}{7}$ и $\frac{1}{4}$.
3. Находим НОЗ(7, 4) = 28.
4. Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 4}{7 \cdot 4} = \frac{8}{28}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 7}{4 \cdot 7} = \frac{7}{28}$
5. Сравниваем дроби: $\frac{8}{28} > \frac{7}{28}$, значит $\frac{2}{7} > 0,25$.

Ответ

a) $\frac{5}{9} < 0,56$
б) $0,2 < \frac{3}{11}$
в) $\frac{2}{7} > 0,25$