Вычислите:
а) $\frac{3}{14} + \frac{1}{28}$;
б) $\frac{4}{15} - \frac{3}{25}$;
в) $\frac{5}{46} + \frac{4}{69}$.

Для решения этих примеров, нам нужно вспомнить, как складывать и вычитать обыкновенные дроби.

Теория:

1. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, у них должен быть одинаковый знаменатель. Этот общий знаменатель должен делиться на знаменатель каждой дроби. Самый удобный общий знаменатель − это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

2. Нахождение НОК: Чтобы найти НОК двух чисел, можно разложить каждое число на простые множители, а затем взять каждый множитель с наибольшей степенью, в которой он встречается в разложениях.

3. Приведение дроби к новому знаменателю: Когда мы нашли общий знаменатель, нужно привести каждую дробь к этому знаменателю. Для этого нужно разделить новый знаменатель на старый знаменатель и умножить числитель и знаменатель дроби на полученное число. Это число называется дополнительным множителем.

4. Сложение и вычитание дробей с общим знаменателем: После того, как дроби приведены к общему знаменателю, можно сложить или вычесть их, складывая или вычитая числители, а знаменатель остается тем же.

5. Сокращение дроби: После сложения или вычитания, если возможно, дробь нужно сократить (то есть разделить числитель и знаменатель на их общий делитель).

Решение:

а) $\frac{3}{14} + \frac{1}{28}$

Находим общий знаменатель для 14 и 28. Заметим, что 28 делится на 14, поэтому НОК(14, 28) = 28.
Приводим дроби к общему знаменателю 28.

Для дроби $\frac{3}{14}$ дополнительный множитель равен $28 : 14 = 2$. Умножаем числитель и знаменатель на 2: $\frac{3 \cdot 2}{14 \cdot 2} = \frac{6}{28}$.
Для дроби $\frac{1}{28}$ дополнительный множитель равен $28 : 28 = 1$. Умножаем числитель и знаменатель на 1: $\frac{1 \cdot 1}{28 \cdot 1} = \frac{1}{28}$.

Складываем дроби: $\frac{6}{28} + \frac{1}{28} = \frac{6+1}{28} = \frac{7}{28}$.
Сокращаем дробь: $\frac{7}{28} = \frac{7:7}{28:7} = \frac{1}{4}$.

Ответ: $\frac{1}{4}$

б) $\frac{4}{15} - \frac{3}{25}$

Находим общий знаменатель для 15 и 25. Разложим числа на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$ и $25 = 5 \cdot 5 = 5^2$. Тогда НОК(15, 25) = $3 \cdot 5^2 = 3 \cdot 25 = 75$.
Приводим дроби к общему знаменателю 75.

Для дроби $\frac{4}{15}$ дополнительный множитель равен $75 : 15 = 5$. Умножаем числитель и знаменатель на 5: $\frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 5} = \frac{20}{75}$.
Для дроби $\frac{3}{25}$ дополнительный множитель равен $75 : 25 = 3$.

Умножаем числитель и знаменатель на 3: $\frac{3 \cdot 3}{25 \cdot 3} = \frac{9}{75}$.
Вычитаем дроби: $\frac{20}{75} - \frac{9}{75} = \frac{20-9}{75} = \frac{11}{75}$.
Дробь $\frac{11}{75}$ не сокращается, так как у 11 и 75 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $\frac{11}{75}$

в) $\frac{5}{46} + \frac{4}{69}$

Находим общий знаменатель для 46 и 69. Разложим числа на простые множители: $46 = 2 \cdot 23$ и $69 = 3 \cdot 23$. Тогда НОК(46, 69) = $2 \cdot 3 \cdot 23 = 6 \cdot 23 = 138$.
Приводим дроби к общему знаменателю 138.

Для дроби $\frac{5}{46}$ дополнительный множитель равен $138 : 46 = 3$. Умножаем числитель и знаменатель на 3: $\frac{5 \cdot 3}{46 \cdot 3} = \frac{15}{138}$.
Для дроби $\frac{4}{69}$ дополнительный множитель равен $138 : 69 = 2$. Умножаем числитель и знаменатель на 2: $\frac{4 \cdot 2}{69 \cdot 2} = \frac{8}{138}$.

Складываем дроби: $\frac{15}{138} + \frac{8}{138} = \frac{15+8}{138} = \frac{23}{138}$.
Сокращаем дробь: $\frac{23}{138} = \frac{23 : 23}{138 : 23} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$