Повторяя изученные за учебный год слова на английском языке три одноклассника выяснили, что Петя помнит $\frac{11}{13}$, Витя − $\frac{57}{60}$, а Миша − $\frac{7}{12}$ всех изученных за год слов.
а) Кто из ребят помнит больше английских слов?
б) Кому из ребят нужно повторить больше английских слов?
в) Сколько всего английских слов изучили ребята за год, если слов меньше 800?
г) Сколько английских слов нужно повторить каждому из мальчиков?

Теория для решения задачи

1. Сравнение дробей: Чтобы сравнить дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель − это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Дробь с большим числителем будет больше, если знаменатели одинаковые.

2. Наименьшее общее кратное (НОК): НОК нескольких чисел − это наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Чтобы найти НОК, можно разложить числа на простые множители и взять каждый множитель с наибольшей степенью, в которой он встречается в разложениях.

3. Основное свойство дроби: Если умножить или разделить числитель и знаменатель дроби на одно и то же число (не равное нулю), то получится дробь, равная исходной.

4. Нахождение части от целого: Чтобы найти часть от целого, выраженную дробью, нужно умножить это целое на дробь. Например, чтобы найти, сколько составляет $\frac{2}{3}$ от 60, нужно вычислить $\frac{2}{3} \cdot 60 = 40$.

Решение:

а) Кто из ребят помнит больше английских слов?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно сравнить дроби $\frac{11}{13}$, $\frac{57}{60}$ и $\frac{7}{12}$

Для этого приведем их к общему знаменателю.
НОК(13, 60, 12) = 780.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 780:
$\frac{11}{13} = \frac{11 \cdot 60}{13 \cdot 60} = \frac{660}{780}$
$\frac{57}{60} = \frac{57 \cdot 13}{60 \cdot 13} = \frac{741}{780}$
$\frac{7}{12} = \frac{7 \cdot 65}{12 \cdot 65} = \frac{455}{780}$

Сравниваем числители: 455 < 660 < 741.

Значит, $\frac{7}{12} < \frac{11}{13} < \frac{57}{60}$.

• Вывод: Витя помнит больше всего слов.

б) Кому из ребят нужно повторить больше английских слов?

Так как Миша помнит меньше всего слов, то ему нужно повторить больше всего слов.

Вывод: Мише нужно повторить больше всего слов.

в) Сколько всего английских слов изучили ребята за год, если слов меньше 800?

Из условия задачи следует, что общее количество слов должно делиться на 13, 60 и 12, то есть должно быть кратно их НОК.
Мы уже нашли, что НОК(13, 60, 12) = 780.
Так как 780 < 800, и по условию количество слов меньше 800, то всего ребята изучили 780 слов.

Вывод: Всего ребята изучили 780 слов.

г) Сколько английских слов нужно повторить каждому из мальчиков?

Петя помнит $\frac{11}{13}$ всех слов, то есть ему нужно повторить $1 - \frac{11}{13} = \frac{2}{13}$ всех слов.
$\frac{2}{13} \cdot 780 = \frac{2 \cdot 780}{13} = 2 \cdot 60 = 120$ слов.

Витя помнит $\frac{57}{60}$ всех слов, то есть ему нужно повторить $1 - \frac{57}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}$ всех слов.
$\frac{1}{20} \cdot 780 = \frac{780}{20} = 39$ слов.

Миша помнит $\frac{7}{12}$ всех слов, то есть ему нужно повторить $1 - \frac{7}{12} = \frac{5}{12}$ всех слов.
$\frac{5}{12} \cdot 780 = \frac{5 \cdot 780}{12} = 5 \cdot 65 = 325$ слов.

Вывод: Пете нужно повторить 120 слов, Вите − 39 слов, Мише − 325 слов.

Ответ:
а) Витя;
б) Миша;
в) 780 слов;
г) 120 слов − Пете; 39 слов − Вите; 325 слов − Мише.