Вычислите:
а) $\frac{5}{14} + \frac{5}{21}$;
б) $\frac{5}{14} - \frac{5}{21}$;
в) $\frac{17}{30} + \frac{11}{70}$;
г) $\frac{17}{30} - \frac{11}{70}$;
д) $\frac{9}{22} + \frac{2}{121}$;
е) $\frac{9}{22} - \frac{2}{121}$.

Для решения этих примеров нам потребуется знание сложения и вычитания обыкновенных дробей.

Теория:

1. Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится дробь, равная данной.

2. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы сложить (вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить (вычесть) их числители, а знаменатель оставить тем же.

$\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}$
$\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}$

3. Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями: Чтобы сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю, а затем сложить (вычесть) как дроби с одинаковыми знаменателями.

Нахождение общего знаменателя: Общий знаменатель должен делиться на каждый из исходных знаменателей. Наименьший общий знаменатель (НОЗ) – это наименьшее число, которое делится на оба знаменателя.
Приведение к общему знаменателю: Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно умножить числитель и знаменатель дроби на дополнительный множитель. Дополнительный множитель − это число, которое получается при делении нового знаменателя на старый.

4. Сокращение дробей: Если числитель и знаменатель дроби имеют общий делитель, то дробь можно сократить, разделив числитель и знаменатель на этот делитель.

Решение:

а) $\frac{5}{14} + \frac{5}{21}$

Находим общий знаменатель для 14 и 21.
14 = 2 * 7
21 = 3 * 7
НОЗ(14, 21) = 2 * 3 * 7 = 42
Приводим дроби к общему знаменателю 42.
Для дроби $\frac{5}{14}$: 42 : 14 = 3 (дополнительный множитель)
$\frac{5}{14} = \frac{5 \cdot 3}{14 \cdot 3} = \frac{15}{42}$
Для дроби $\frac{5}{21}$: 42 : 21 = 2 (дополнительный множитель)
$\frac{5}{21} = \frac{5 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{10}{42}$
Складываем дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{15}{42} + \frac{10}{42} = \frac{15 + 10}{42} = \frac{25}{42}$

б) $\frac{5}{14} - \frac{5}{21}$

Общий знаменатель, как и в предыдущем примере, равен 42.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{5}{14} = \frac{15}{42}$
$\frac{5}{21} = \frac{10}{42}$
Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{15}{42} - \frac{10}{42} = \frac{15 - 10}{42} = \frac{5}{42}$

в) $\frac{17}{30} + \frac{11}{70}$

Находим общий знаменатель для 30 и 70.
30 = 2 * 3 * 5
70 = 2 * 5 * 7
НОЗ(30, 70) = 2 * 3 * 5 * 7 = 210
Приводим дроби к общему знаменателю 210.
Для дроби $\frac{17}{30}$: 210 : 30 = 7 (дополнительный множитель)
$\frac{17}{30} = \frac{17 \cdot 7}{30 \cdot 7} = \frac{119}{210}$
Для дроби $\frac{11}{70}$: 210 : 70 = 3 (дополнительный множитель)
$\frac{11}{70} = \frac{11 \cdot 3}{70 \cdot 3} = \frac{33}{210}$
Складываем дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{119}{210} + \frac{33}{210} = \frac{119 + 33}{210} = \frac{152}{210}$
Сокращаем дробь:
$\frac{152}{210} = \frac{76}{105}$ (разделили числитель и знаменатель на 2)

г) $\frac{17}{30} - \frac{11}{70}$

Общий знаменатель, как и в предыдущем примере, равен 210.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{17}{30} = \frac{119}{210}$
$\frac{11}{70} = \frac{33}{210}$
Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{119}{210} - \frac{33}{210} = \frac{119 - 33}{210} = \frac{86}{210}$
Сокращаем дробь:
$\frac{86}{210} = \frac{43}{105}$ (разделили числитель и знаменатель на 2)

д) $\frac{9}{22} + \frac{2}{121}$

Находим общий знаменатель для 22 и 121.
22 = 2 * 11
121 = 11 * 11
НОЗ(22, 121) = 2 * 11 * 11 = 242
Приводим дроби к общему знаменателю 242.
Для дроби $\frac{9}{22}$: 242 : 22 = 11 (дополнительный множитель)
$\frac{9}{22} = \frac{9 \cdot 11}{22 \cdot 11} = \frac{99}{242}$
Для дроби $\frac{2}{121}$: 242 : 121 = 2 (дополнительный множитель)
$\frac{2}{121} = \frac{2 \cdot 2}{121 \cdot 2} = \frac{4}{242}$
Складываем дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{99}{242} + \frac{4}{242} = \frac{99 + 4}{242} = \frac{103}{242}$

е) $\frac{9}{22} - \frac{2}{121}$

Общий знаменатель, как и в предыдущем примере, равен 242.
Приводим дроби к общему знаменателю:
$\frac{9}{22} = \frac{99}{242}$
$\frac{2}{121} = \frac{4}{242}$
Вычитаем дроби с одинаковым знаменателем:
$\frac{99}{242} - \frac{4}{242} = \frac{99 - 4}{242} = \frac{95}{242}$

Ответы:

а) $\frac{25}{42}$
б) $\frac{5}{42}$
в) $\frac{76}{105}$
г) $\frac{43}{105}$
д) $\frac{103}{242}$
е) $\frac{95}{242}$