Сравните дроби:
а) $\frac{2}{3}$ и $\frac{8}{21}$;
б) $\frac{4}{15}$ и $\frac{2}{5}$;
в) $\frac{3}{8}$ и $\frac{17}{40}$;
г) $\frac{5}{6}$ и $\frac{31}{36}$;
д) $\frac{1}{6}$ и $\frac{4}{21}$;
е) $\frac{13}{18}$ и $\frac{11}{15}$;
ж) $\frac{17}{125}$ и $\frac{23}{165}$;
з) $\frac{19}{77}$ и $\frac{43}{176}$.

Теория: Сравнение дробей

Чтобы сравнить две дроби, нужно привести их к общему знаменателю. Общий знаменатель − это число, которое делится на оба знаменателя.

1. Приведение к общему знаменателю:

• Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ) для двух дробей.
• Определяем дополнительный множитель для каждой дроби, разделив НОЗ на знаменатель каждой дроби.
• Умножаем числитель каждой дроби на её дополнительный множитель.

2. Сравнение дробей с одинаковым знаменателем:

• После приведения дробей к общему знаменателю, сравниваем их числители.
• Дробь с большим числителем больше.

Теперь решим примеры:

а) $\frac{2}{3}$ и $\frac{8}{21}$

Находим общий знаменатель: Наименьший общий знаменатель для 3 и 21 это 21 (так как 21 делится на 3).

Приводим дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{2}{3}$: $21 : 3 = 7$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 7: $\frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 7} = \frac{14}{21}$.
Дробь $\frac{8}{21}$ уже имеет нужный знаменатель.

Сравниваем дроби: $\frac{14}{21}$ и $\frac{8}{21}$. Так как $14 > 8$, то $\frac{14}{21} > \frac{8}{21}$.

Ответ: $\frac{2}{3} > \frac{8}{21}$

б) $\frac{4}{15}$ и $\frac{2}{5}$

Находим общий знаменатель: Наименьший общий знаменатель для 15 и 5 это 15 (так как 15 делится на 5).

Приводим дроби к общему знаменателю:
Дробь $\frac{4}{15}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для дроби $\frac{2}{5}$: $15 : 5 = 3$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 3: $\frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$.

Сравниваем дроби: $\frac{4}{15}$ и $\frac{6}{15}$. Так как $4 < 6$, то $\frac{4}{15} < \frac{6}{15}$.

Ответ: $\frac{4}{15} < \frac{2}{5}$

в) $\frac{3}{8}$ и $\frac{17}{40}$

Находим общий знаменатель: Наименьший общий знаменатель для 8 и 40 это 40 (так как 40 делится на 8).

Приводим дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{3}{8}$: $40 : 8 = 5$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 5: $\frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{15}{40}$.
Дробь $\frac{17}{40}$ уже имеет нужный знаменатель.

Сравниваем дроби: $\frac{15}{40}$ и $\frac{17}{40}$. Так как $15 < 17$, то $\frac{15}{40} < \frac{17}{40}$.

Ответ: $\frac{3}{8} < \frac{17}{40}$

г) $\frac{5}{6}$ и $\frac{31}{36}$

Находим общий знаменатель: Наименьший общий знаменатель для 6 и 36 это 36 (так как 36 делится на 6).

Приводим дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{5}{6}$: $36 : 6 = 6$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 6: $\frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36}$.
Дробь $\frac{31}{36}$ уже имеет нужный знаменатель.

Сравниваем дроби: $\frac{30}{36}$ и $\frac{31}{36}$. Так как $30 < 31$, то $\frac{30}{36} < \frac{31}{36}$.

Ответ: $\frac{5}{6} < \frac{31}{36}$

д) $\frac{1}{6}$ и $\frac{4}{21}$

Находим общий знаменатель: Наименьший общий знаменатель для 6 и 21 это 42.

Приводим дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{1}{6}$: $42 : 6 = 7$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 7: $\frac{1 \cdot 7}{6 \cdot 7} = \frac{7}{42}$.
Для дроби $\frac{4}{21}$: $42 : 21 = 2$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 2: $\frac{4 \cdot 2}{21 \cdot 2} = \frac{8}{42}$.

Сравниваем дроби: $\frac{7}{42}$ и $\frac{8}{42}$. Так как $7 < 8$, то $\frac{7}{42} < \frac{8}{42}$.

Ответ: $\frac{1}{6} < \frac{4}{21}$

е) $\frac{13}{18}$ и $\frac{11}{15}$

Находим общий знаменатель: Наименьший общий знаменатель для 18 и 15 это 90.

Приводим дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{13}{18}$: $90 : 18 = 5$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 5: $\frac{13 \cdot 5}{18 \cdot 5} = \frac{65}{90}$.
Для дроби $\frac{11}{15}$: $90 : 15 = 6$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 6: $\frac{11 \cdot 6}{15 \cdot 6} = \frac{66}{90}$.

Сравниваем дроби: $\frac{65}{90}$ и $\frac{66}{90}$. Так как $65 < 66$, то $\frac{65}{90} < \frac{66}{90}$.

Ответ: $\frac{13}{18} < \frac{11}{15}$

ж) $\frac{17}{125}$ и $\frac{23}{165}$

Находим общий знаменатель: Наименьший общий знаменатель для 125 и 165 это 4125

Приводим дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{17}{125}$: $4125 : 125 = 33$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 33: $\frac{17 \cdot 33}{125 \cdot 33} = \frac{561}{4125}$.
Для дроби $\frac{23}{165}$: $4125 : 165 = 25$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 25: $\frac{23 \cdot 25}{165 \cdot 25} = \frac{575}{4125}$.

Сравниваем дроби: $\frac{561}{4125}$ и $\frac{575}{4125}$. Так как $561 < 575$, то $\frac{561}{4125} < \frac{575}{4125}$.

Ответ: $\frac{17}{125} < \frac{23}{165}$

з) $\frac{19}{77}$ и $\frac{43}{176}$

Находим общий знаменатель: Наименьший общий знаменатель для 77 и 176 это 1232.

Приводим дроби к общему знаменателю:
Для дроби $\frac{19}{77}$: $1232 : 77 = 16$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 16: $\frac{19 \cdot 16}{77 \cdot 16} = \frac{304}{1232}$.
Для дроби $\frac{43}{176}$: $1232 : 176 = 7$, значит, умножаем числитель и знаменатель на 7: $\frac{43 \cdot 7}{176 \cdot 7} = \frac{301}{1232}$.

Сравниваем дроби: $\frac{304}{1232}$ и $\frac{301}{1232}$. Так как $304 > 301$, то $\frac{304}{1232} > \frac{301}{1232}$.

Ответ: $\frac{19}{77} > \frac{43}{176}$