Найдите значение выражения:
а) $\frac{7}{40} + \frac{11}{60}$;
б) $\frac{27}{56} - \frac{5}{42}$;
в) $\frac{11}{72} - \frac{7}{54}$;
г) $\frac{16}{45} + \frac{17}{60}$.

Для решения этих примеров нужно уметь складывать и вычитать обыкновенные дроби с разными знаменателями. Вот необходимая теория и подробные решения:

Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю.

1. Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ) для двух (или более) дробей. НОЗ − это наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей.
2. Приводим каждую дробь к новому знаменателю (НОЗ). Для этого нужно найти дополнительный множитель для каждой дроби. Дополнительный множитель − это число, на которое нужно умножить знаменатель исходной дроби, чтобы получить НОЗ. Затем умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.
3. Складываем или вычитаем числители полученных дробей с общим знаменателем. Знаменатель остается прежним.
4. Сокращаем дробь (если возможно). Если числитель и знаменатель имеют общий делитель, делим на него оба числа, пока дробь не станет несократимой.

Теперь решим примеры:

а) $\frac{7}{40} + \frac{11}{60}$

1. Найдем НОЗ для 40 и 60. Разложим числа на простые множители:
$40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
НОЗ = $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$
2. Приведем дроби к знаменателю 120:
Для первой дроби: $120 : 40 = 3$. Значит, $\frac{7}{40} = \frac{7 \cdot 3}{40 \cdot 3} = \frac{21}{120}$
Для второй дроби: $120 : 60 = 2$. Значит, $\frac{11}{60} = \frac{11 \cdot 2}{60 \cdot 2} = \frac{22}{120}$
3. Сложим дроби:
$\frac{21}{120} + \frac{22}{120} = \frac{21 + 22}{120} = \frac{43}{120}$
4. Дробь $\frac{43}{120}$ несократимая, так как 43 − простое число, и оно не является делителем 120.

Ответ: $\frac{43}{120}$

б) $\frac{27}{56} - \frac{5}{42}$

1. Найдем НОЗ для 56 и 42. Разложим числа на простые множители:
$56 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^3 \cdot 7$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
НОЗ = $2^3 \cdot 3 \cdot 7 = 8 \cdot 3 \cdot 7 = 168$
2. Приведем дроби к знаменателю 168:
Для первой дроби: $168 : 56 = 3$. Значит, $\frac{27}{56} = \frac{27 \cdot 3}{56 \cdot 3} = \frac{81}{168}$
Для второй дроби: $168 : 42 = 4$. Значит, $\frac{5}{42} = \frac{5 \cdot 4}{42 \cdot 4} = \frac{20}{168}$
3. Вычтем дроби:
$\frac{81}{168} - \frac{20}{168} = \frac{81 - 20}{168} = \frac{61}{168}$
4. Дробь $\frac{61}{168}$ несократимая, так как 61 − простое число, и оно не является делителем 168.

Ответ: $\frac{61}{168}$

в) $\frac{11}{72} - \frac{7}{54}$

1. Найдем НОЗ для 72 и 54. Разложим числа на простые множители:
$72 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2^3 \cdot 3^2$
$54 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^3$
НОЗ = $2^3 \cdot 3^3 = 8 \cdot 27 = 216$
2. Приведем дроби к знаменателю 216:
Для первой дроби: $216 : 72 = 3$. Значит, $\frac{11}{72} = \frac{11 \cdot 3}{72 \cdot 3} = \frac{33}{216}$
Для второй дроби: $216 : 54 = 4$. Значит, $\frac{7}{54} = \frac{7 \cdot 4}{54 \cdot 4} = \frac{28}{216}$
3. Вычтем дроби:
$\frac{33}{216} - \frac{28}{216} = \frac{33 - 28}{216} = \frac{5}{216}$
4. Дробь $\frac{5}{216}$ несократимая, так как 5 − простое число, и оно не является делителем 216.

Ответ: $\frac{5}{216}$

г) $\frac{16}{45} + \frac{17}{60}$

1. Найдем НОЗ для 45 и 60. Разложим числа на простые множители:
$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
НОЗ = $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$
2. Приведем дроби к знаменателю 180:
Для первой дроби: $180 : 45 = 4$. Значит, $\frac{16}{45} = \frac{16 \cdot 4}{45 \cdot 4} = \frac{64}{180}$
Для второй дроби: $180 : 60 = 3$. Значит, $\frac{17}{60} = \frac{17 \cdot 3}{60 \cdot 3} = \frac{51}{180}$
3. Сложим дроби:
$\frac{64}{180} + \frac{51}{180} = \frac{64 + 51}{180} = \frac{115}{180}$
4. Сократим дробь. Оба числа делятся на 5:
$\frac{115}{180} = \frac{115 : 5}{180 : 5} = \frac{23}{36}$
Дробь $\frac{23}{36}$ несократимая, так как 23 − простое число, и оно не является делителем 36.

Ответ: $\frac{23}{36}$