Вычислите:
а) $\frac{23}{24} - (\frac{1}{6} + \frac{1}{4})$;
б) $\frac{4}{35} + (\frac{3}{5} - \frac{4}{7})$;
в) $\frac{11}{15} - (\frac{2}{3} - \frac{3}{20})$;
г) $\frac{5}{18} + (\frac{2}{9} + \frac{1}{27})$.

Теория:

1. Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится дробь, равная данной.

2. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сложить или вычесть дроби, их нужно привести к общему знаменателю. Для этого:

• Находим наименьший общий знаменатель (НОЗ) для всех дробей.
• Определяем дополнительные множители для каждой дроби (путем деления НОЗ на знаменатель каждой дроби).
• Умножаем числитель и знаменатель каждой дроби на её дополнительный множитель.

3. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями: Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить без изменений.

4. Порядок действий: Сначала выполняем действия в скобках, затем сложение и вычитание.

Теперь давай подробно разберем каждый пример. Я буду делать так, как если бы решал это в своей тетради в школе.

а) $\frac{23}{24} - (\frac{1}{6} + \frac{1}{4})$

1. Сначала нужно решить, что в скобках: $\frac{1}{6} + \frac{1}{4}$.

2. Находим общий знаменатель для $\frac{1}{6}$ и $\frac{1}{4}$. Наименьшее общее кратное (НОК) чисел 6 и 4 равно 12.

3. Приводим дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12}$
$\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$

4. Складываем дроби в скобках: $\frac{2}{12} + \frac{3}{12} = \frac{2+3}{12} = \frac{5}{12}$

5. Теперь решаем всё выражение: $\frac{23}{24} - \frac{5}{12}$.

6. Находим общий знаменатель для $\frac{23}{24}$ и $\frac{5}{12}$. НОК чисел 24 и 12 равно 24.

7. Приводим дроби к общему знаменателю 24:

$\frac{23}{24}$ уже имеет нужный знаменатель.
$\frac{5}{12} = \frac{5 \cdot 2}{12 \cdot 2} = \frac{10}{24}$

8. Вычитаем дроби: $\frac{23}{24} - \frac{10}{24} = \frac{23-10}{24} = \frac{13}{24}$

Ответ: $\frac{13}{24}$

б) $\frac{4}{35} + (\frac{3}{5} - \frac{4}{7})$

1. Сначала решаем, что в скобках: $\frac{3}{5} - \frac{4}{7}$.

2. Находим общий знаменатель для $\frac{3}{5}$ и $\frac{4}{7}$. НОК чисел 5 и 7 равно 35.

3. Приводим дроби к общему знаменателю 35:

$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}$
$\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{20}{35}$

4. Вычитаем дроби в скобках: $\frac{21}{35} - \frac{20}{35} = \frac{21-20}{35} = \frac{1}{35}$

5. Теперь решаем всё выражение: $\frac{4}{35} + \frac{1}{35}$.

6. Складываем дроби: $\frac{4}{35} + \frac{1}{35} = \frac{4+1}{35} = \frac{5}{35}$

7. Сокращаем дробь: $\frac{5}{35} = \frac{5 \div 5}{35 \div 5} = \frac{1}{7}$

Ответ: $\frac{1}{7}$

в) $\frac{11}{15} - (\frac{2}{3} - \frac{3}{20})$

1. Сначала решаем, что в скобках: $\frac{2}{3} - \frac{3}{20}$.

2. Находим общий знаменатель для $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{20}$. НОК чисел 3 и 20 равно 60.

3. Приводим дроби к общему знаменателю 60:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 20}{3 \cdot 20} = \frac{40}{60}$
$\frac{3}{20} = \frac{3 \cdot 3}{20 \cdot 3} = \frac{9}{60}$

4. Вычитаем дроби в скобках: $\frac{40}{60} - \frac{9}{60} = \frac{40-9}{60} = \frac{31}{60}$

5. Теперь решаем всё выражение: $\frac{11}{15} - \frac{31}{60}$.

6. Находим общий знаменатель для $\frac{11}{15}$ и $\frac{31}{60}$. НОК чисел 15 и 60 равно 60.

7. Приводим дроби к общему знаменателю 60:

$\frac{11}{15} = \frac{11 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{44}{60}$
$\frac{31}{60}$ уже имеет нужный знаменатель.

8. Вычитаем дроби: $\frac{44}{60} - \frac{31}{60} = \frac{44-31}{60} = \frac{13}{60}$

Ответ: $\frac{13}{60}$

г) $\frac{5}{18} + (\frac{2}{9} + \frac{1}{27})$

1. Сначала решаем, что в скобках: $\frac{2}{9} + \frac{1}{27}$.

2. Находим общий знаменатель для $\frac{2}{9}$ и $\frac{1}{27}$. НОК чисел 9 и 27 равно 27.

3. Приводим дроби к общему знаменателю 27:

$\frac{2}{9} = \frac{2 \cdot 3}{9 \cdot 3} = \frac{6}{27}$
$\frac{1}{27}$ уже имеет нужный знаменатель.

4. Складываем дроби в скобках: $\frac{6}{27} + \frac{1}{27} = \frac{6+1}{27} = \frac{7}{27}$

5. Теперь решаем всё выражение: $\frac{5}{18} + \frac{7}{27}$.

6. Находим общий знаменатель для $\frac{5}{18}$ и $\frac{7}{27}$. НОК чисел 18 и 27 равно 54.

7. Приводим дроби к общему знаменателю 54:

$\frac{5}{18} = \frac{5 \cdot 3}{18 \cdot 3} = \frac{15}{54}$
$\frac{7}{27} = \frac{7 \cdot 2}{27 \cdot 2} = \frac{14}{54}$

8. Складываем дроби: $\frac{15}{54} + \frac{14}{54} = \frac{15+14}{54} = \frac{29}{54}$

Ответ: $\frac{29}{54}$