Справедливо ли неравенство:
а) $\frac{1}{7} < \frac{111}{700}$;
б) $\frac{307}{7500} > \frac{1}{25}$;
в) $\frac{11}{825} < \frac{16}{1155}$?

Немного теории

Прежде чем решать задачу, давай вспомним основные моменты, которые нам понадобятся.

1. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями:
Если у двух дробей одинаковые знаменатели, то больше та дробь, у которой числитель больше. Например, $\frac{5}{12} > \frac{3}{12}$, потому что $5 > 3$.
2. Приведение дробей к общему знаменателю:
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей и привести каждую дробь к этому знаменателю, умножив числитель и знаменатель на соответствующие дополнительные множители.
3. Основное свойство дроби:
Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число (не равное нулю), то получится дробь, равная данной. Например, $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$.

Решение задачи

Теперь решим задачу по пунктам. Твои рассуждения верны, но давай их немного подробнее запишем.

а) $\frac{1}{7} < \frac{111}{700}$

Приведем дробь $\frac{1}{7}$ к знаменателю $700$. Чтобы это сделать, нужно умножить и числитель, и знаменатель на $100$:
$\frac{1}{7} = \frac{1 \cdot 100}{7 \cdot 100} = \frac{100}{700}$
Теперь сравним дроби $\frac{100}{700}$ и $\frac{111}{700}$. Так как знаменатели одинаковые, сравниваем числители: $100 < 111$.
Следовательно, $\frac{100}{700} < \frac{111}{700}$, а значит, $\frac{1}{7} < \frac{111}{700}$.

Ответ: Неравенство справедливо.

б) $\frac{307}{7500} > \frac{1}{25}$

Приведем дробь $\frac{1}{25}$ к знаменателю $7500$. Чтобы это сделать, нужно умножить и числитель, и знаменатель на $300$:
$\frac{1}{25} = \frac{1 \cdot 300}{25 \cdot 300} = \frac{300}{7500}$
Теперь сравним дроби $\frac{307}{7500}$ и $\frac{300}{7500}$. Так как знаменатели одинаковые, сравниваем числители: $307 > 300$.
Следовательно, $\frac{307}{7500} > \frac{300}{7500}$, а значит, $\frac{307}{7500} > \frac{1}{25}$.

Ответ: Неравенство справедливо.

в) $\frac{11}{825} < \frac{16}{1155}$

Здесь немного сложнее, потому что знаменатели не так просто приводятся друг к другу. Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для $825$ и $1155$.
Разложим числа на простые множители:
$825 = 3 \cdot 5^2 \cdot 11$
$1155 = 3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11$
НОЗ $(825, 1155) = 3 \cdot 5^2 \cdot 7 \cdot 11 = 5775$
Приведем обе дроби к знаменателю $5775$:
$\frac{11}{825} = \frac{11 \cdot 7}{825 \cdot 7} = \frac{77}{5775}$
$\frac{16}{1155} = \frac{16 \cdot 5}{1155 \cdot 5} = \frac{80}{5775}$
Теперь сравним дроби $\frac{77}{5775}$ и $\frac{80}{5775}$. Так как знаменатели одинаковые, сравниваем числители: $77 < 80$.
Следовательно, $\frac{77}{5775} < \frac{80}{5775}$, а значит, $\frac{11}{825} < \frac{16}{1155}$.

Ответ: Неравенство справедливо.