Расположите в порядке возрастания дроби:
а) $\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, \frac{7}{9}, \frac{11}{12}$;
б) $\frac{25}{28}, \frac{53}{56}, \frac{7}{8}, \frac{13}{14}$.

Прежде чем приступить к решению, давай вспомним основные понятия, которые нам понадобятся.

Теория для решения задачи

1. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями: Из двух дробей с одинаковыми знаменателями больше та дробь, у которой больше числитель. Например, $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$, так как $5 > 3$.

2. Приведение дробей к общему знаменателю: Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. Затем нужно привести каждую дробь к новому знаменателю, умножив числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Наименьшее общее кратное (НОК): Наименьшее общее кратное нескольких чисел − это наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, НОК(2, 3) = 6, НОК(4, 6) = 12.
Дополнительный множитель: Чтобы привести дробь к новому знаменателю, нужно разделить новый знаменатель (НОК) на старый знаменатель. Полученное число и будет дополнительным множителем.
Например, приведем дробь $\frac{1}{2}$ к знаменателю 6. НОК(2, 6) = 6. Дополнительный множитель для дроби $\frac{1}{2}$ будет $6 : 2 = 3$. Тогда $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$.

3. Основное свойство дроби: Если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же число, то получится дробь, равная исходной. Например, $\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$.

Решение

Теперь давай решим задачу, как это сделал бы ты в своей тетради.

а) $\frac{2}{3}, \frac{5}{6}, \frac{7}{9}, \frac{11}{12}$

1. Находим общий знаменатель: Нужно найти НОК(3, 6, 9, 12).
Разложим каждое число на простые множители:
3 = 3
6 = 2 * 3
9 = 3 * 3 = $3^2$
12 = 2 * 2 * 3 = $2^2 * 3$
НОК(3, 6, 9, 12) = $2^2 * 3^2$ = 4 * 9 = 36

2. Приводим дроби к общему знаменателю 36:

$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{24}{36}$ (дополнительный множитель для дроби $\frac{2}{3}$ равен $36 : 3 = 12$)
$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36}$ (дополнительный множитель для дроби $\frac{5}{6}$ равен $36 : 6 = 6$)
$\frac{7}{9} = \frac{7 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{28}{36}$ (дополнительный множитель для дроби $\frac{7}{9}$ равен $36 : 9 = 4$)
$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{33}{36}$ (дополнительный множитель для дроби $\frac{11}{12}$ равен $36 : 12 = 3$)

3. Сравниваем дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{24}{36} < \frac{28}{36} < \frac{30}{36} < \frac{33}{36}$

4. Записываем исходные дроби в порядке возрастания:

$\frac{2}{3} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6} < \frac{11}{12}$

б) $\frac{25}{28}, \frac{53}{56}, \frac{7}{8}, \frac{13}{14}$

1. Находим общий знаменатель: Нужно найти НОК(28, 56, 8, 14).
Разложим каждое число на простые множители:
28 = 2 * 2 * 7 = $2^2 * 7$
56 = 2 * 2 * 2 * 7 = $2^3 * 7$
8 = 2 * 2 * 2 = $2^3$
14 = 2 * 7
НОК(28, 56, 8, 14) = $2^3 * 7$ = 8 * 7 = 56

2. Приводим дроби к общему знаменателю 56:

$\frac{25}{28} = \frac{25 \cdot 2}{28 \cdot 2} = \frac{50}{56}$ (дополнительный множитель для дроби $\frac{25}{28}$ равен $56 : 28 = 2$)
$\frac{53}{56}$ (уже имеет нужный знаменатель)
$\frac{7}{8} = \frac{7 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{49}{56}$ (дополнительный множитель для дроби $\frac{7}{8}$ равен $56 : 8 = 7$)
$\frac{13}{14} = \frac{13 \cdot 4}{14 \cdot 4} = \frac{52}{56}$ (дополнительный множитель для дроби $\frac{13}{14}$ равен $56 : 14 = 4$)

3. Сравниваем дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{49}{56} < \frac{50}{56} < \frac{52}{56} < \frac{53}{56}$

4. Записываем исходные дроби в порядке возрастания:

$\frac{7}{8} < \frac{25}{28} < \frac{13}{14} < \frac{53}{56}$

Ответ:
а) $\frac{2}{3} < \frac{7}{9} < \frac{5}{6} < \frac{11}{12}$
б) $\frac{7}{8} < \frac{25}{28} < \frac{13}{14} < \frac{53}{56}$