Сравните дроби:
а) $\frac{3}{4}$ и $\frac{7}{12}$;
б) $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{11}$;
в) $\frac{3}{5}$ и $\frac{47}{75}$;
г) $\frac{19}{42}$ и $\frac{23}{77}$.

Сравнение дробей − это определение, какая из двух или более дробей больше или меньше другой. Существует несколько способов сравнения дробей, и выбор метода зависит от вида дробей, которые нужно сравнить.

1. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями:

Если две дроби имеют одинаковые знаменатели, то больше та дробь, у которой числитель больше.

Пример:
$\frac{5}{7}$ и $\frac{3}{7}$.
Так как $5 > 3$, то $\frac{5}{7} > \frac{3}{7}$.

2. Сравнение дробей с одинаковыми числителями:

Если две дроби имеют одинаковые числители, то больше та дробь, у которой знаменатель меньше.

Пример:
$\frac{4}{9}$ и $\frac{4}{11}$.
Так как $9 < 11$, то $\frac{4}{9} > \frac{4}{11}$.

3. Сравнение дробей с разными числителями и знаменателями:

Чтобы сравнить дроби с разными числителями и знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Наиболее распространенный способ − найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) для двух дробей. После приведения к общему знаменателю, можно сравнить числители.

Пример:
Сравнить $\frac{2}{3}$ и $\frac{3}{4}$.

Найдем наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 3 и 4. НОЗ(3, 4) = 12.
Приведем обе дроби к знаменателю 12:
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{9}{12}$
Теперь сравним числители: $\frac{8}{12}$ и $\frac{9}{12}$.
Так как $8 < 9$, то $\frac{8}{12} < \frac{9}{12}$, следовательно, $\frac{2}{3} < \frac{3}{4}$.

Теперь решим задачу:

а) $\frac{3}{4}$ и $\frac{7}{12}$;

Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 12 равен 12.

$\frac{3}{4}^{(3} = \frac{3 * 3}{4 * 3} = \frac{9}{12}$

Теперь сравним $\frac{9}{12}$ и $\frac{7}{12}$.

Так как $9 > 7$, то $\frac{9}{12} > \frac{7}{12}$, следовательно, $\frac{3}{4} > \frac{7}{12}$.

б) $\frac{4}{9}$ и $\frac{5}{11}$;

Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 11 равен 99.

$\frac{4}{9}^{(11} = \frac{4 * 11}{9 * 11} = \frac{44}{99}$

$\frac{5}{11}^{(9} = \frac{5 * 9}{11 * 9} = \frac{45}{99}$

Теперь сравним $\frac{44}{99}$ и $\frac{45}{99}$.

Так как $44 < 45$, то $\frac{44}{99} < \frac{45}{99}$, следовательно, $\frac{4}{9} < \frac{5}{11}$.

в) $\frac{3}{5}$ и $\frac{47}{75}$;

Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 75 равен 75.

$\frac{3}{5}^{(15} = \frac{3 * 15}{5 * 15} = \frac{45}{75}$

Теперь сравним $\frac{45}{75}$ и $\frac{47}{75}$.

Так как $45 < 47$, то $\frac{45}{75} < \frac{47}{75}$, следовательно, $\frac{3}{5} < \frac{47}{75}$.

г) $\frac{19}{42}$ и $\frac{23}{77}$.

Чтобы сравнить эти дроби, приведем их к общему знаменателю. Сначала найдем наименьшее общее кратное (НОК) для 42 и 77.

Разложим числа на простые множители:
$42 = 2 * 3 * 7$
$77 = 7 * 11$

НОК(42, 77) = $2 * 3 * 7 * 11 = 462$

Теперь приведем дроби к общему знаменателю 462:

$\frac{19}{42}^{(11} = \frac{19 * 11}{42 * 11} = \frac{209}{462}$

$\frac{23}{77}^{(6} = \frac{23 * 6}{77 * 6} = \frac{138}{462}$

Теперь сравним $\frac{209}{462}$ и $\frac{138}{462}$.

Так как $209 > 138$, то $\frac{209}{462} > \frac{138}{462}$, следовательно, $\frac{19}{42} > \frac{23}{77}$.