Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:
а) $\frac{11}{12}$ и $\frac{7}{30}$;
б) $\frac{57}{112}$ и $\frac{25}{84}$.

Теория для решения задач на приведение дробей к наименьшему общему знаменателю

1. Что такое общий знаменатель?

У нескольких дробей может быть общий знаменатель, то есть одинаковое число внизу дроби. Например, у дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$ общий знаменатель равен 4.

2. Зачем приводить дроби к общему знаменателю?

Чтобы сравнивать, складывать или вычитать дроби, нужно, чтобы у них был общий знаменатель.

3. Как найти общий знаменатель?

Нужно найти число, которое делится на все знаменатели данных дробей. Это число называют общим кратным (ОК) знаменателей.
Обычно стараются найти наименьший общий знаменатель (НОЗ) – это наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей.

4. Как найти наименьшее общее кратное (НОК)?

Способ 1: Перебор кратных большего числа.
Например, чтобы найти НОК(12, 18), можно выписать кратные большего числа (18): 18, 36, 54, ...
Затем проверяем, делится ли каждое из этих чисел на другое число (12). В данном случае, 36 делится на 12, значит, НОК(12, 18) = 36.
Способ 2: Разложение на простые множители.
1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Выписать все простые множители первого числа.
3. Добавить к ним те простые множители второго числа, которых нет в первом числе.
4. Перемножить все выписанные простые множители.
Пример: Найдем НОК(12, 18).
12 = 2 * 2 * 3
18 = 2 * 3 * 3
НОК(12, 18) = 2 * 2 * 3 * 3 = 36

5. Как привести дробь к новому знаменателю?

Нужно умножить и числитель, и знаменатель дроби на одно и то же число. Это число называют дополнительным множителем.
Чтобы найти дополнительный множитель, нужно новый знаменатель разделить на старый знаменатель.
Например, приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 12.
Дополнительный множитель: 12 / 4 = 3
$\frac{1}{4} = \frac{1 * 3}{4 * 3} = \frac{3}{12}$

Теперь решим твои примеры:

а) $\frac{11}{12}$ и $\frac{7}{30}$

1. Находим НОК(12, 30):

Разложим числа на простые множители:
12 = 2 * 2 * 3
30 = 2 * 3 * 5
НОК(12, 30) = 2 * 2 * 3 * 5 = 60

2. Приводим дроби к знаменателю 60:

Для дроби $\frac{11}{12}$:
Дополнительный множитель: 60 / 12 = 5
$\frac{11}{12} = \frac{11 * 5}{12 * 5} = \frac{55}{60}$
Для дроби $\frac{7}{30}$:
Дополнительный множитель: 60 / 30 = 2
$\frac{7}{30} = \frac{7 * 2}{30 * 2} = \frac{14}{60}$

Ответ: $\frac{55}{60}$ и $\frac{14}{60}$

б) $\frac{57}{112}$ и $\frac{25}{84}$

1. Находим НОК(112, 84):

Разложим числа на простые множители:
112 = 2 * 2 * 2 * 2 * 7
84 = 2 * 2 * 3 * 7
НОК(112, 84) = 2 * 2 * 2 * 2 * 3 * 7 = 336

2. Приводим дроби к знаменателю 336:

Для дроби $\frac{57}{112}$:
Дополнительный множитель: 336 : 112 = 3
$\frac{57}{112} = \frac{57 * 3}{112 * 3} = \frac{171}{336}$
Для дроби $\frac{25}{84}$:
Дополнительный множитель: 336 : 84 = 4
$\frac{25}{84} = \frac{25 * 4}{84 * 4} = \frac{100}{336}$

Ответ: $\frac{171}{336}$ и $\frac{100}{336}$