Как сравнить две дроби с разными знаменателями?
Как сложить (вычесть) дроби с разными знаменателями?

Для начала, давай разберемся с теорией, а потом я покажу, как это работает на примерах.

1. Как привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ)?

Представь, что у тебя есть две дроби, например, $\frac{1}{4}$ и $\frac{2}{6}$. У них разные знаменатели: 4 и 6. Чтобы их сравнить или сложить/вычесть, нам нужно сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. Этот одинаковый знаменатель и называется общим знаменателем. Но лучше, если он будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ), так как с ним проще работать.

Как найти НОЗ? Есть два основных способа:

• Способ 1: Подбор

1. Берем больший из двух знаменателей. В нашем примере это 6.
2. Проверяем, делится ли больший знаменатель на меньший без остатка. 6 не делится на 4 без остатка.
3. Умножаем больший знаменатель на 2, на 3, на 4 и так далее, пока не получим число, которое делится на оба исходных знаменателя.
6 * 2 = 12. 12 делится на 4 и на 6! Значит, НОЗ = 12.

• Способ 2: Разложение на простые множители

1. Разлагаем каждый знаменатель на простые множители.
4 = 2 * 2
6 = 2 * 3
2. Выписываем разложение большего знаменателя: 6 = 2 * 3
3. Дополняем это разложение недостающими множителями из разложения меньшего знаменателя. У нас в разложении 6 уже есть одна двойка (2), а в разложении 4 две двойки (2 * 2). Значит, нам нужно добавить еще одну двойку.
4. Получаем: 2 * 3 * 2 = 12. НОЗ = 12.

2. Как привести дроби к новому знаменателю?

Теперь, когда мы нашли НОЗ, нужно сделать так, чтобы у каждой дроби знаменатель стал равен этому НОЗ. Для этого мы умножаем и числитель, и знаменатель каждой дроби на дополнительный множитель.

Как найти дополнительный множитель? Нужно НОЗ разделить на старый знаменатель каждой дроби.

Для дроби $\frac{1}{4}$: Дополнительный множитель = 12 / 4 = 3. Значит, умножаем и числитель, и знаменатель на 3:
$\frac{1}{4} = \frac{1 * 3}{4 * 3} = \frac{3}{12}$
Для дроби $\frac{2}{6}$: Дополнительный множитель = 12 / 6 = 2. Значит, умножаем и числитель, и знаменатель на 2:
$\frac{2}{6} = \frac{2 * 2}{6 * 2} = \frac{4}{12}$

Теперь у нас есть две дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{3}{12}$ и $\frac{4}{12}$.

3. Сравнение дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно просто сравнить их числители. Та дробь больше, у которой числитель больше.

В нашем примере: $\frac{3}{12}$ и $\frac{4}{12}$. Так как 4 > 3, то $\frac{4}{12} > \frac{3}{12}$, а значит, и $\frac{2}{6} > \frac{1}{4}$.

4. Сложение и вычитание дробей с одинаковыми знаменателями

Чтобы сложить или вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить или вычесть их числители, а знаменатель оставить прежним.

Например, сложим $\frac{3}{12}$ и $\frac{4}{12}$:

$\frac{3}{12} + \frac{4}{12} = \frac{3 + 4}{12} = \frac{7}{12}$

А теперь вычтем:

$\frac{4}{12} - \frac{3}{12} = \frac{4 - 3}{12} = \frac{1}{12}$