Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 28 и 35;
б) 120 и 150;
в) 45 и 95;
г) 200 и 300.

Для решения этой задачи нам понадобится знание о том, что такое наименьшее общее кратное (НОК) и как его находить.

Теория:

1. Кратное числа: Кратным числа $a$ называется число, которое делится на $a$ без остатка. Например, кратными числа 5 являются 10, 15, 20, 25 и так далее.

2. Общее кратное: Общим кратным двух или нескольких чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, общими кратными чисел 2 и 3 являются 6, 12, 18, 24 и так далее.

3. Наименьшее общее кратное (НОК): Наименьшим общим кратным двух или нескольких чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, наименьшим общим кратным чисел 2 и 3 является 6.

Как найти НОК:

Чтобы найти НОК двух или нескольких чисел, нужно:

1. Разложить каждое из чисел на простые множители.
2. Выписать все простые множители, входящие в разложения чисел.
3. Для каждого простого множителя выбрать наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях чисел.
4. Перемножить выбранные степени простых множителей.

Пример:

Найдем НОК(12, 18).

1. Разложим числа на простые множители:

$12 = 2 \cdot 2 \cdot 3 = 2^2 \cdot 3$
$18 = 2 \cdot 3 \cdot 3 = 2 \cdot 3^2$

2. Выпишем все простые множители, входящие в разложения чисел: 2 и 3.

3. Для каждого простого множителя выберем наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях чисел:

• Для 2 это $2^2$ (так как в разложении числа 12 двойка встречается в степени 2, а в разложении числа 18 − в степени 1).
• Для 3 это $3^2$ (так как в разложении числа 12 тройка встречается в степени 1, а в разложении числа 18 − в степени 2).

4. Перемножим выбранные степени простых множителей:

$НОК(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$

Теперь, когда мы вспомнили теорию, приступим к решению задачи.

а) Найдем НОК(28, 35).

1. Разложим числа на простые множители:

$28 = 2 \cdot 2 \cdot 7 = 2^2 \cdot 7$
$35 = 5 \cdot 7$

2. Выпишем все простые множители, входящие в разложения чисел: 2, 5 и 7.

3. Для каждого простого множителя выберем наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях чисел:

Для 2 это $2^2$
Для 5 это $5^1$
Для 7 это $7^1$

4. Перемножим выбранные степени простых множителей:

$НОК(28, 35) = 2^2 \cdot 5 \cdot 7 = 4 \cdot 5 \cdot 7 = 20 \cdot 7 = 140$

Ответ: НОК(28, 35) = 140

б) Найдем НОК(120, 150).

1. Разложим числа на простые множители:

$120 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^3 \cdot 3 \cdot 5$
$150 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$

2. Выпишем все простые множители, входящие в разложения чисел: 2, 3 и 5.

3. Для каждого простого множителя выберем наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях чисел:

Для 2 это $2^3$
Для 3 это $3^1$
Для 5 это $5^2$

4. Перемножим выбранные степени простых множителей:

$НОК(120, 150) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 3 \cdot 25 = 24 \cdot 25 = 600$

Ответ: НОК(120, 150) = 600

в) Найдем НОК(45, 95).

1. Разложим числа на простые множители:

$45 = 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3^2 \cdot 5$
$95 = 5 \cdot 19$

2. Выпишем все простые множители, входящие в разложения чисел: 3, 5 и 19.

3. Для каждого простого множителя выберем наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях чисел:

Для 3 это $3^2$
Для 5 это $5^1$
Для 19 это $19^1$

4. Перемножим выбранные степени простых множителей:

$НОК(45, 95) = 3^2 \cdot 5 \cdot 19 = 9 \cdot 5 \cdot 19 = 45 \cdot 19 = 855$

Ответ: НОК(45, 95) = 855

г) Найдем НОК(200, 300).

1. Разложим числа на простые множители:

$200 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5^2$
$300 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2$

2. Выпишем все простые множители, входящие в разложения чисел: 2, 3 и 5.

3. Для каждого простого множителя выберем наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях чисел:

Для 2 это $2^3$
Для 3 это $3^1$
Для 5 это $5^2$

4. Перемножим выбранные степени простых множителей:

$НОК(200, 300) = 2^3 \cdot 3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 3 \cdot 25 = 24 \cdot 25 = 600$

Ответ: НОК(200, 300) = 600