Найдите наименьшее общее кратное чисел:
а) 22 и 55;
б) 40 и 50;
в) 270 и 450;
г) 40, 60 и 15.

Для решения данной задачи, нам потребуется знание о том, что такое Наименьшее Общее Кратное (НОК) и как его находить.

Теория:

1. Кратное числа: Кратным числа a называется число, которое делится на a без остатка. Например, кратными числа 5 являются 5, 10, 15, 20 и т.д.

2. Общее кратное: Общим кратным двух или более чисел называется число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, общими кратными чисел 2 и 3 являются 6, 12, 18 и т.д.

3. Наименьшее общее кратное (НОК): Наименьшим общим кратным двух или более чисел называется наименьшее натуральное число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например, НОК(2, 3) = 6.

Метод нахождения НОК с использованием разложения на простые множители:

1. Разложить каждое из чисел на простые множители.
2. Выписать все простые множители, входящие в разложение хотя бы одного из чисел.
3. Для каждого простого множителя выбрать наибольшую степень, в которой он встречается в разложениях чисел.
4. Перемножить выбранные степени простых множителей. Полученное произведение и будет НОК.

Теперь решим задачу, используя описанный метод:

а) Найти НОК(22, 55):

• Разложим 22 на простые множители: $22 = 2 \cdot 11$
• Разложим 55 на простые множители: $55 = 5 \cdot 11$

Теперь выпишем все простые множители, которые входят в разложение хотя бы одного из чисел: 2, 5, 11.

Для каждого множителя выберем наибольшую степень, в которой он встречается:

• 2 встречается в первой степени $(2^1)$
• 5 встречается в первой степени $(5^1)$
• 11 встречается в первой степени $(11^1)$

Перемножим выбранные степени: $2 \cdot 5 \cdot 11 = 110$
Следовательно, НОК(22, 55) = 110.

б) Найти НОК(40, 50):

• Разложим 40 на простые множители: $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
• Разложим 50 на простые множители: $50 = 2 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 5^2$

Выпишем все простые множители: 2, 5

Выберем наибольшие степени:

• 2 встречается в максимальной степени 3 $(2^3)$
• 5 встречается в максимальной степени 2 $(5^2)$

Перемножим выбранные степени: $2^3 \cdot 5^2 = 8 \cdot 25 = 200$
Следовательно, НОК(40, 50) = 200.

в) Найти НОК(270, 450):

• Разложим 270 на простые множители: $270 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 2 \cdot 3^3 \cdot 5$
• Разложим 450 на простые множители: $450 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 5 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5^2$

Выпишем все простые множители: 2, 3, 5

Выберем наибольшие степени:

• 2 встречается в максимальной степени 1 $(2^1)$
• 3 встречается в максимальной степени 3 $(3^3)$
• 5 встречается в максимальной степени 2 $(5^2)$

Перемножим выбранные степени: $2 \cdot 3^3 \cdot 5^2 = 2 \cdot 27 \cdot 25 = 54 \cdot 25 = 1350$
Следовательно, НОК(270, 450) = 1350.

г) Найти НОК(40, 60, 15):

• Разложим 40 на простые множители: $40 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 5 = 2^3 \cdot 5$
• Разложим 60 на простые множители: $60 = 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 5 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$
• Разложим 15 на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$

Выпишем все простые множители: 2, 3, 5

Выберем наибольшие степени:

• 2 встречается в максимальной степени 3 $(2^3)$
• 3 встречается в максимальной степени 1 $(3^1)$
• 5 встречается в максимальной степени 1 $(5^1)$

Перемножим выбранные степени: $2^3 \cdot 3 \cdot 5 = 8 \cdot 3 \cdot 5 = 24 \cdot 5 = 120$
Следовательно, НОК(40, 60, 15) = 120.

Ответы:

а) НОК(22, 55) = 110
б) НОК(40, 50) = 200
в) НОК(270, 450) = 1350
г) НОК(40, 60, 15) = 120