Развивай мышление.
а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел−близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось?
б) Все пары чисел−близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 или 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165.
в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами−близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами−близнецами.

Теория

Прежде чем мы начнем решать задачу, давай вспомним основные понятия, которые нам понадобятся:

1. Простые числа: Это натуральные числа (больше 1), которые делятся только на 1 и на самих себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и так далее.

2. Числа−близнецы: Это пара простых чисел, разница между которыми равна 2. Например: (3, 5), (5, 7), (11, 13).

3. Составные числа: Это натуральные числа (больше 1), которые имеют больше двух делителей (то есть, делятся не только на 1 и на самих себя). Например: 4, 6, 8, 9, 10 и так далее.

4. Выражения вида 6n − 1 и 6n + 1: Здесь n — это натуральное число. Такие выражения могут давать простые числа, но не всегда. Важно помнить, что если число не является простым, то оно составное.

Решение

Теперь приступим к решению задачи по пунктам.

а) Найдите в таблице простых чисел пары чисел−близнецов среди первых 500 натуральных чисел. Сколько таких пар получилось?

Внимательно просматриваем предоставленный список и выбираем пары, разница между которыми равна 2:

1) 3 и 5;
2) 5 и 7;
3) 11 и 13;
4) 17 и 19;
5) 29 и 31;
6) 41 и 43;
7) 59 и 61;
8) 71 и 73;
9) 101 и 103;
10) 107 и 109;
11) 137 и 139;
12) 149 и 151;
13) 179 и 181;
14) 191 и 193;
15) 197 и 199;
16) 227 и 229;
17) 239 и 241;
18) 269 и 271;
19) 281 и 283;
20) 311 и 313;
21) 347 и 349;
22) 419 и 421;
23) 431 и 433;
24) 461 и 463.

Ответ: Получилось 24 пары чисел−близнецов.

б) Все пары чисел−близнецов, кроме 3 и 5, имеют вид 6n − 1 или 6n + 1. Найдите по этим выражениям пары чисел для n, равного 87, 135 и 165.

Подставляем значения n в выражения и вычисляем:

• При n = 87:
  6n − 1 = 6 * 87 − 1 = 522 − 1 = 521
  6n + 1 = 6 * 87 + 1 = 522 + 1 = 523

• При n = 135:
  6n − 1 = 6 * 135 − 1 = 810 − 1 = 809
  6n + 1 = 6 * 135 + 1 = 810 + 1 = 811

• При n = 165:
  6n − 1 = 6 * 165 − 1 = 990 − 1 = 989
  6n + 1 = 6 * 165 + 1 = 990 + 1 = 991

Ответ: 521 и 523; 809 и 811; 989 и 991.

в) Не все пары чисел вида 6k − 1 и 6k + 1 являются числами−близнецами. Найдите все пары двузначных чисел вида 6k − 1 и 6k + 1, которые не являются числами−близнецами.

Здесь нужно перебрать значения k так, чтобы оба числа (6k − 1) и (6k + 1) были двузначными. Двузначные числа начинаются с 10 и заканчиваются 99.

• Начнем с малых значений k и будем увеличивать, пока оба числа не станут больше или равны 10:

При k = 1: 6k − 1 = 5 (не подходит, так как это однозначное число)
При k = 2: 6k − 1 = 11, 6k + 1 = 13 (оба простые, являются близнецами, не подходит)
При k = 3: 6k − 1 = 17, 6k + 1 = 19 (оба простые, являются близнецами, не подходит)

• Теперь найдем верхнюю границу для k. Нам нужно, чтобы 6k + 1 было меньше или равно 99:

6k + 1 <= 99
6k <= 98
k <= 98 / 6
k <= 16.333...

Значит, максимальное целое значение для k равно 16.

Теперь перебираем все значения k от 4 до 16 и проверяем, являются ли числа 6k − 1 и 6k + 1 простыми (то есть, являются ли они близнецами). Если хотя бы одно из них составное, то пара не является числами−близнецами, и мы её записываем.

• При k = 4:
  6k − 1 = 6 * 4 − 1 = 24 − 1 = 23
  6k + 1 = 6 * 4 + 1 = 24 + 1 = 25 (составное, делится на 5)
  Пара 23 и 25 не является парой чисел−близнецов.

• При k = 5:
  6k − 1 = 6 * 5 − 1 = 30 − 1 = 29
  6k + 1 = 6 * 5 + 1 = 30 + 1 = 31
  Пара 29 и 31 является парой чисел−близнецов.

• При k = 6:
  6k − 1 = 6 * 6 − 1 = 36 − 1 = 35 (составное, делится на 5 и 7)
  6k + 1 = 6 * 6 + 1 = 36 + 1 = 37
  Пара 35 и 37 не является парой чисел−близнецов.

• При k = 7:
  6k − 1 = 6 * 7 − 1 = 42 − 1 = 41
  6k + 1 = 6 * 7 + 1 = 42 + 1 = 43
  Пара 41 и 43 является парой чисел−близнецов.

• При k = 8:
  6k − 1 = 6 * 8 − 1 = 48 − 1 = 47
  6k + 1 = 6 * 8 + 1 = 48 + 1 = 49 (составное, делится на 7)
  Пара 47 и 49 не является парой чисел−близнецов.

• При k = 9:
  6k − 1 = 6 * 9 − 1 = 54 − 1 = 53
  6k + 1 = 6 * 9 + 1 = 54 + 1 = 55 (составное, делится на 5 и 11)
  Пара 53 и 55 не является парой чисел−близнецов.

• При k = 10:
  6k − 1 = 6 * 10 − 1 = 60 − 1 = 59
  6k + 1 = 6 * 10 + 1 = 60 + 1 = 61
  Пара 59 и 61 является парой чисел−близнецов.

• При k = 11:
  6k − 1 = 6 * 11 − 1 = 66 − 1 = 65 (составное, делится на 5 и 13)
  6k + 1 = 6 * 11 + 1 = 66 + 1 = 67
  Пара 65 и 67 не является парой чисел−близнецов.

• При k = 12:
  6k − 1 = 6 * 12 − 1 = 72 − 1 = 71
  6k + 1 = 6 * 12 + 1 = 72 + 1 = 73
  Пара 71 и 73 является парой чисел−близнецов.

• При k = 13:
  6k − 1 = 6 * 13 − 1 = 78 − 1 = 77 (составное, делится на 7 и 11)
  6k + 1 = 6 * 13 + 1 = 78 + 1 = 79
  Пара 77 и 79 не является парой чисел−близнецов.

• При k = 14:
  6k − 1 = 6 * 14 − 1 = 84 − 1 = 83
  6k + 1 = 6 * 14 + 1 = 84 + 1 = 85 (составное, делится на 5 и 17)
  Пара 83 и 85 не является парой чисел−близнецов.

• При k = 15:
  6k − 1 = 6 * 15 − 1 = 90 − 1 = 89
  6k + 1 = 6 * 15 + 1 = 90 + 1 = 91 (составное, делится на 7 и 13)
  Пара 89 и 91 не является парой чисел−близнецов.

• При k = 16:
  6k − 1 = 6 * 16 − 1 = 96 − 1 = 95 (составное, делится на 5 и 19)
  6k + 1 = 6 * 16 + 1 = 96 + 1 = 97
  Пара 95 и 97 не является парой чисел−близнецов.

Ответ: 23 и 25; 35 и 37; 47 и 49; 53 и 55; 65 и 67; 77 и 79; 83 и 85; 95 и 97.