1) Какие числа могут быть взаимно простыми:
а) два четных числа;
б) четное и нечетное числа;
в) два простых числа;
г) простое и составное числа;
д) два последовательных натуральных числа?
2) Какие числа всегда взаимно простые:
а) два четных числа;
б) четное и нечетное числа;
в) два простых числа;
г) простое и составное числа;
д) два последовательных натуральных числа?

Теория

Прежде чем отвечать на вопросы, давай вспомним, что такое взаимно простые числа.

• Делитель числа: Делителем числа a называется число, на которое a делится без остатка. Например, делителями числа 12 являются 1, 2, 3, 4, 6 и 12.

• Общий делитель: Общим делителем двух чисел a и b называется число, которое является делителем и числа a, и числа b. Например, общими делителями чисел 12 и 18 являются 1, 2, 3 и 6.

• Наибольший общий делитель (НОД): Наибольшим общим делителем двух чисел a и b называется наибольший из их общих делителей. Например, НОД(12, 18) = 6.

• Взаимно простые числа: Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Иными словами, у них нет общих делителей, кроме 1.

• Простое число: Это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Примеры: 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.

• Составное число: Это натуральное число больше 1, которое имеет делители, отличные от 1 и самого себя. Примеры: 4, 6, 8, 9, 10 и т.д.

• Четное число: Это целое число, которое делится на 2 без остатка.

• Нечетное число: Это целое число, которое не делится на 2 без остатка.

• Последовательные натуральные числа: Это числа, идущие друг за другом в натуральном ряду (1, 2, 3, 4, 5...). Например, 5 и 6 − последовательные натуральные числа.

Решение

Теперь, когда мы все вспомнили, давай ответим на вопросы.

1. Какие числа могут быть взаимно простыми?

а) Два четных числа.

Любое четное число делится на 2. Значит, два четных числа всегда имеют общий делитель 2. Поэтому два четных числа не могут быть взаимно простыми.
Пример: 4 и 6. НОД(4, 6) = 2.

b) Четное и нечетное числа.

Четное число делится на 2, а нечетное − нет. Однако, у них могут быть и другие общие делители. Например, 6 и 9 имеют общий делитель 3. Но если у них нет общих делителей кроме 1, то они взаимно простые.
Пример 1: 8 и 9. НОД(8, 9) = 1. Взаимно простые.
Пример 2: 6 и 15. НОД(6, 15) = 3. Не взаимно простые.
Значит, четное и нечетное числа могут быть взаимно простыми.

в) Два простых числа.

Простые числа делятся только на 1 и на самих себя. Если у двух простых чисел разные значения, то их единственный общий делитель − 1. Если же это одно и тоже число, то НОД будет равен этому числу.
Пример 1: 7 и 11. НОД(7, 11) = 1. Взаимно простые.
Пример 2: 7 и 7. НОД(7, 7) = 7. Не взаимно простые.
Значит, два простых числа могут быть взаимно простыми.

г) Простое и составное числа.

У простого числа делители только 1 и само это число. Составное число имеет и другие делители. Если простое число не является делителем составного, то у них нет общих делителей, кроме 1.
Пример 1: 5 и 12. НОД(5, 12) = 1. Взаимно простые.
Пример 2: 3 и 9. НОД(3, 9) = 3. Не взаимно простые.
Значит, простое и составное числа могут быть взаимно простыми.

д) Два последовательных натуральных числа.

Допустим, у двух последовательных чисел n и (n+1) есть общий делитель d, больший 1. Тогда и разность (n+1) − n = 1 должна делиться на d. Но 1 делится только на 1. Значит, предположение о существовании общего делителя d > 1 неверно.
Пример: 8 и 9. НОД(8, 9) = 1. Взаимно простые.
Значит, два последовательных натуральных числа могут быть взаимно простыми.

Ответ: б, в, г, д.

2. Какие числа всегда взаимно простые?

а) Два четных числа.

Как мы уже выяснили, два четных числа всегда имеют общий делитель 2, поэтому они не всегда взаимно простые.

б) Четное и нечетное числа.

Как мы уже выяснили, четное и нечетное числа не всегда взаимно простые. Например, 6 и 9 имеют общий делитель 3.

в) Два простых числа.

Два различных простых числа всегда взаимно простые, т.к. у них нет других общих делителей, кроме 1.

г) Простое и составное числа.

Простое и составное числа не всегда взаимно простые. Например, 3 и 9 имеют общий делитель 3.

д) Два последовательных натуральных числа.

Как мы уже выяснили, два последовательных натуральных числа всегда взаимно простые.

Ответ: в, д.