Найдите наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби и сократите дробь:
а) $\frac{4}{8}$;
б) $\frac{15}{25}$;
в) $\frac{33}{99}$;
г) $\frac{51}{85}$.

Для решения этой задачи, нам нужно вспомнить, что такое наибольший общий делитель (НОД) и как сокращать дроби.

Теория:

1. Делитель числа: Делителем числа a называется число, на которое a делится без остатка. Например, делителями числа 6 являются 1, 2, 3 и 6.

2. Общий делитель: Общим делителем двух или нескольких чисел называется число, которое является делителем каждого из этих чисел. Например, общими делителями чисел 12 и 18 являются 1, 2, 3 и 6.

3. Наибольший общий делитель (НОД): Наибольшим общим делителем двух или нескольких чисел называется наибольшее число, которое является делителем каждого из этих чисел. Например, НОД(12, 18) = 6.

4. Как найти НОД: Чтобы найти НОД двух чисел, можно разложить каждое из чисел на простые множители и выбрать общие простые множители в наименьшей степени, в которой они входят в разложения чисел. Перемножив выбранные общие множители, получим НОД.

5. Сокращение дроби: Сократить дробь − это значит разделить и числитель, и знаменатель на их общий делитель. Если разделить числитель и знаменатель на их НОД, то получится несократимая дробь.

Решение:

а) $\frac{4}{8}$

• Разложим числитель и знаменатель на простые множители: 4 = 2 * 2 8 = 2 * 2 * 2
• Найдем НОД(4, 8): Общие множители − 2 и 2. НОД(4, 8) = 2 * 2 = 4
• Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД: $\frac{4}{8} = \frac{4 : 4}{8 : 4} = \frac{1}{2}$

б) $\frac{15}{25}$

• Разложим числитель и знаменатель на простые множители: 15 = 3 * 5 25 = 5 * 5
• Найдем НОД(15, 25): Общий множитель − 5. НОД(15, 25) = 5
• Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД: $\frac{15}{25} = \frac{15 : 5}{25 : 5} = \frac{3}{5}$

в) $\frac{33}{99}$

• Разложим числитель и знаменатель на простые множители: 33 = 3 * 11 99 = 3 * 3 * 11
• Найдем НОД(33, 99): Общие множители − 3 и 11. НОД(33, 99) = 3 * 11 = 33
• Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД: $\frac{33}{99} = \frac{33 : 33}{99 : 33} = \frac{1}{3}$

г) $\frac{51}{85}$

• Разложим числитель и знаменатель на простые множители: 51 = 3 * 17 85 = 5 * 17
• Найдем НОД(51, 85): Общий множитель − 17. НОД(51, 85) = 17
• Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на НОД: $\frac{51}{85} = \frac{51 : 17}{85 : 17} = \frac{3}{5}$

Ответ:

а) $\frac{1}{2}$
б) $\frac{3}{5}$
в) $\frac{1}{3}$
г) $\frac{3}{5}$