Дроби $\frac{n}{20}$ и $\frac{c}{30}$, где n и c − натуральные числа, можно представить в виде десятичных. Могут ли числитель и знаменатель каждой из этих дробей быть взаимно простыми?
$\frac{n}{20}$
$20 = 2 * 2 * 5 = 2^2 * 5$, так как знаменатель дроби содержит только множители 2 и 5, то при любом n дробь можно представить в виде десятичной.
Числа 1 и 20, 3 и 20, 7 и 20, 9 и 20, 11 и 20, 13 и 20, 17 и 20, 19 и 20 − взаимно простые, значит числитель и знаменатель дроби $\frac{n}{20}$ могут взаимно простыми при n = 1; 3; 7; 9; 11; 13; 17; 19.
$\frac{c}{30}$
30 = 2 * 3 * 5, так как знаменатель дроби содержит дополнительный множитель 3, то дробь $\frac{c}{30}$ можно представить в виде десятичной, только в том случае если числитель и знаменатель будут иметь общий множитель 3. Следовательно числитель и знаменатель дроби $\frac{c}{30}$ не могут быть взаимно простыми числами.
Ответ:
$\frac{n}{20}$ − могут;
$\frac{c}{30}$ − не могут.
Для того чтобы ответить на вопрос, нужно понимать, какие дроби можно представить в виде конечной десятичной дроби.
Теория:
Обыкновенную дробь можно представить в виде конечной десятичной дроби тогда и только тогда, когда её знаменатель (после сокращения дроби) можно разложить на простые множители, содержащие только 2 и 5.
Почему это так? Десятичная дробь – это дробь, знаменатель которой является степенью числа 10 (например, 10, 100, 1000 и т.д.). А 10 раскладывается на простые множители как 2 * 5. Значит, любая степень числа 10 будет содержать только множители 2 и 5.
Решение:
Рассмотрим дробь $\frac{n}{20}$. Разложим знаменатель 20 на простые множители: $20 = 2 * 2 * 5 = 2^2 * 5$. Знаменатель содержит только множители 2 и 5, значит, дробь $\frac{n}{20}$ можно представить в виде десятичной дроби при любом натуральном n.
Теперь посмотрим, могут ли n и 20 быть взаимно простыми. Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. То есть, они не имеют общих делителей, кроме 1. Например, числа 3 и 20 взаимно простые. Числа 4 и 20 не взаимно простые, так как у них есть общий делитель 4. Значит, да, n и 20 могут быть взаимно простыми (например, n = 3, 7, 9, 11 и т.д.).
Рассмотрим дробь $\frac{c}{30}$. Разложим знаменатель 30 на простые множители: $30 = 2 * 3 * 5$. В разложении знаменателя присутствует множитель 3, кроме 2 и 5. Чтобы дробь $\frac{c}{30}$ можно было представить в виде десятичной дроби, необходимо, чтобы после сокращения дроби в знаменателе не осталось множителя 3. Это возможно только в том случае, если числитель c делится на 3.
Теперь посмотрим, могут ли c и 30 быть взаимно простыми. Если c делится на 3, то наибольший общий делитель c и 30 будет как минимум 3 (т.к. 30 тоже делится на 3). Значит, c и 30 не могут быть взаимно простыми, если дробь $\frac{c}{30}$ можно представить в виде десятичной дроби.
Ответ:
Числитель и знаменатель дроби $\frac{n}{20}$ могут быть взаимно простыми, а числитель и знаменатель дроби $\frac{c}{30}$ не могут быть взаимно простыми, если обе дроби можно представить в виде десятичных дробей.
Пожаулйста, оцените решение
vsebot.ru - Твоя нейросеть на базе СhatGPT, Gemini и др. Бесплатно навсегда!