а) Владелец машины меняет каждые 15 тыс.км моторное масло, а каждые 60 тыс.км − приводной ремень. Через сколько тысяч километров совпадут замены масла и приводного ремня?
б) Спутники Ио, Европа, Ганимед и Каллисто планеты Юпитер обращаются вокруг нее за 42, 85, 172 и 400 ч соответственно. За какое наименьшее время они все вместе повторяют свое положение на орбите?

Для решения этих задач нам понадобится понятие наименьшего общего кратного (НОК).

Что такое НОК?

Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел − это самое маленькое число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Как найти НОК?

Есть несколько способов найти НОК, но для чисел, используемых в этих задачах, самый удобный − это разложение на простые множители.

1. Разложить каждое число на простые множители: Простые множители − это числа, которые делятся только на 1 и на себя (например, 2, 3, 5, 7, 11 и т.д.).
2. Выписать все простые множители, входящие в разложения чисел. Если какой−то множитель встречается в нескольких разложениях, выбираем тот, в котором он встречается наибольшее число раз.
3. Перемножить выбранные множители. Полученное произведение и будет НОК.

Теперь решим задачи.

а) Владелец машины меняет каждые 15 тыс.км моторное масло, а каждые 60 тыс.км − приводной ремень. Через сколько тысяч километров совпадут замены масла и приводного ремня?

Нам нужно найти наименьшее общее кратное чисел 15 и 60, то есть НОК(15, 60).

Разложим 15 и 60 на простые множители:

15 = 3 * 5

$60 = 2 * 2 * 3 * 5 = 2^2 * 3 * 5$

Теперь выпишем все множители, которые входят в разложения, беря каждый множитель с наибольшей степенью, в которой он встречается:

$2^2, 3, 5$

Перемножим их:

$НОК(15, 60) = 2^2 * 3 * 5 = 4 * 3 * 5 = 60$

Ответ: Через 60 тысяч километров совпадут замены масла и приводного ремня.

б) Спутники Ио, Европа, Ганимед и Каллисто планеты Юпитер обращаются вокруг нее за 42, 85, 172 и 400 ч соответственно. За какое наименьшее время они все вместе повторяют свое положение на орбите?

Чтобы решить эту задачу, нам нужно найти НОК(42, 85, 172, 400).

Разложим каждое число на простые множители:

42 = 2 * 3 * 7

85 = 5 * 17

$172 = 2 * 2 * 43 = 2^2 * 43$

$400 = 2 * 2 * 2 * 2 * 5 * 5 = 2^4 * 5^2$

Теперь выпишем все множители с наибольшими степенями:

$2^4, 3, 5^2, 7, 17, 43$

Перемножим их:

$НОК(42, 85, 172, 400) = 2^4 * 3 * 5^2 * 7 * 17 * 43 = 16 * 3 * 25 * 7 * 17 * 43 = 6140400$

Ответ: Спутники повторят свое положение на орбите через 6140400 часов.

Можно также перевести это время в сутки, разделив на 24:

6140400 : 24 = 255850 суток.

Ответ: Спутники повторят свое положение на орбите через 6140400 часов или 255850 суток.