Рассмотрите пары чисел:
9 и 13;
15 и 19;
24 и 35;
27 и 32.
а) Являются ли числа, представленные в каждой паре взаимно простыми?
б) Найдите наименьшее общее кратное чисел в каждой паре. Сделайте предположение.

Для решения этой задачи, нам понадобятся знания о простых числах, разложении чисел на простые множители, нахождении наибольшего общего делителя (НОД) и наименьшего общего кратного (НОК).

Простые числа:
Простое число − это натуральное число больше 1, которое делится только на 1 и на само себя. Например: 2, 3, 5, 7, 11, 13 и т.д.

Разложение на простые множители:
Любое составное число (то есть, не простое и больше 1) можно представить в виде произведения простых чисел. Например:
12 = 2 * 2 * 3
30 = 2 * 3 * 5

Наибольший общий делитель (НОД):
Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких чисел − это самое большое число, на которое делится каждое из этих чисел. Чтобы найти НОД, нужно:

1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Выбрать общие простые множители для всех чисел.
3. Перемножить эти общие простые множители. Если общих множителей нет, то НОД равен 1.

Например:
Найти НОД(12, 18).
1. 12 = 2 * 2 * 3
2. 18 = 2 * 3 * 3
3. Общие множители: 2 и 3
4. НОД(12, 18) = 2 * 3 = 6

Взаимно простые числа:
Два числа называются взаимно простыми, если их наибольший общий делитель равен 1. Например, числа 8 и 9 взаимно простые, так как НОД(8, 9) = 1.

Наименьшее общее кратное (НОК):
Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел − это самое маленькое число, которое делится на каждое из этих чисел. Чтобы найти НОК, нужно:

1. Разложить каждое число на простые множители.
2. Выписать разложение одного из чисел.
3. Дополнить это разложение недостающими множителями из разложений других чисел.
4. Перемножить все выписанные множители.

Например:
Найти НОК(12, 18).
1. 12 = 2 * 2 * 3
2. 18 = 2 * 3 * 3
3. Выписываем разложение числа 12: 2 * 2 * 3
4. Дополняем его недостающим множителем из разложения числа 18: 2 * 2 * 3 * 3
5. НОК(12, 18) = 2 * 2 * 3 * 3 = 36

Теперь решим задачу по шагам, как это сделал бы ученик в своей тетради.

Дано пары чисел:

9 и 13
15 и 19
24 и 35
27 и 32

а) Являются ли числа, представленные в каждой паре взаимно простыми?

• Пара 1: 9 и 13
  9 = 3 * 3
  13 − простое число
  НОД(9, 13) = 1
  Вывод: Числа 9 и 13 взаимно простые.

• Пара 2: 15 и 19
  15 = 3 * 5
  19 − простое число
  НОД(15, 19) = 1
  Вывод: Числа 15 и 19 взаимно простые.

• Пара 3: 24 и 35
  24 = 2 * 2 * 2 * 3
  35 = 5 * 7
  НОД(24, 35) = 1
  Вывод: Числа 24 и 35 взаимно простые.

• Пара 4: 27 и 32
  27 = 3 * 3 * 3
  32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2
  НОД(27, 32) = 1
  Вывод: Числа 27 и 32 взаимно простые.

Ответ на пункт а): Да, числа в каждой паре взаимно простые.

б) Найдите наименьшее общее кратное чисел в каждой паре. Сделайте предположение.

• Пара 1: 9 и 13
  9 = 3 * 3
  13 − простое число
  НОК(9, 13) = 3 * 3 * 13 = 9 * 13 = 117

• Пара 2: 15 и 19
  15 = 3 * 5
  19 − простое число
  НОК(15, 19) = 3 * 5 * 19 = 15 * 19 = 285

• Пара 3: 24 и 35
  24 = 2 * 2 * 2 * 3
  35 = 5 * 7
  НОК(24, 35) = 2 * 2 * 2 * 3 * 5 * 7 = 24 * 35 = 840

• Пара 4: 27 и 32
  27 = 3 * 3 * 3
  32 = 2 * 2 * 2 * 2 * 2
  НОК(27, 32) = 3 * 3 * 3 * 2 * 2 * 2 * 2 * 2 = 27 * 32 = 864

Ответ на пункт б):
НОК(9, 13) = 117
НОК(15, 19) = 285
НОК(24, 35) = 840
НОК(27, 32) = 864

Предположение:

Если два числа являются взаимно простыми, то их наименьшее общее кратное равно произведению этих чисел.